אינטגרל

[לימור הגאונה]

אינטגרל

הפרבולה y= x בחזקת 2 מינוס 2x מינוס 3 חותכת את ציר ה-y בנקודה A, ואת ציר ה-x בנקודה B. חשב את השטח המוגבל ע"י הפרבולה וע"י הישר AB.

 

[לימור הגאונה]

מישהו בבקשה

יכול לפתור לי את התרגיל?

 

[הנשר הנובח]

בבקשה ../images/Emo107.gif

תחילה נמצא את נקודה A על ידי הצבת x=0 במשוואה. אחר כך נמצא את נקודה B על ידי הצבת y=0 . כאן תתקבלנה שתי תשובות ! את בטוחה שלא כתבו בשאלה בפירוש לאיזה נקודה הכוונה, או שצירפו ציור ? בשלב הבא נמצא את משוואת הישר AB לפי שתי נקודות, זוכרת איך עושים את זה ? נסי לעשות בעצמך את השלבים הנ"ל. בתור בדיקה משוואת הישר תצא y=x-3 או y=-3x-3 (תלוי לאיזה משתי הנקודות B היתה הכוונה). בשלב האחרון נמצא את השטח על ידי אינטגרל , שבו נחסיר את משוואת הישר פחות משוואת הפרבולה , בין הנקודות A,B . למשל עבור משוואת הישר הראשונה נקבל :

∫[(x-3)-(x²-2x-3)]dx​

לפני שמחשבים את האינטגרל כדאי לכנס איברים :

∫(-x²+3x)dx​

נסי לסיים ! אם לא מצליח לך תחזרי לכאן ותשאלי.

 

[לימור הגאונה]

נשר,לא הבנתי איך

מגיעים לאינגרל? את האינטגרל אני יודעת לעשות. תוכל לכתוב לי את זה ממש בתור תרגיל? אתה אחלה, המון תודה.

 

[הנשר הנובח]

אני מקווה שהבנתי מה שאלת ../images/Emo107.gif

כאשר עלינו לחשב שטח שמוגבל בין שתי פונקציות, האחת מעל השנייה - נעשה אינטגרל של ההפרש (החיסור) בין שתי הפונקציות, עליונה פחות תחתונה. זה בדיוק המצב בתרגיל הזה. מבקשים את השטח בין הישר לבין הפרבולה, ולכן נחסיר בינהם ונעשה אינטגרל. ה"גבולות" של האינטגרל יהיו תמיד שתי נקודות החיתוך שבין שתי הפונקציות, במקרה שלנו הנקודות A,B . זה מה ששאלת ?

 

[לימור הגאונה]

נשר, רציתי

שתפתור לי את זה במספרים

 

[הנשר הנובח]

בבקשה ../images/Emo107.gif

∫(x-3)-(x²-2x-3)]dx = ∫(-x²+3x)dx = [ -x³/3 + 3x²/2 ]​

נציב את שני הגבולות A,B . בהצבת x=3 נקבל :

-3³/3+3·3²/2 = -9+13.5 = 4.5​

בהצבת x=0 נקבל אפס (כי הכל מתאפס), ולכן השטח הסופי הוא 4.5 .

 

[לימור הגאונה]

נשר, התכוונתי

שאני לא מבינה מה קורה לפני האינטגרלי. אתה כזה חמוד, אני מקווה שאני לא מטריחה אותך יותר מידי.

 

[הנשר הנובח]

בבקשה ../images/Emo107.gif

תחילה נמצא את נקודה A על ידי הצבת x=0 במשוואה. נקבל : y = 0²-2·0-3 = -3 מכאן שנקודה A היא :

A(0,-3)​

אחר כך נמצא את נקודה B על ידי הצבת y=0 . נקבל :

0 = x²-2x-3​

ועל ידי נוסחת שורשים :

x=3 או x=-1​

כלומר לנקודה B יש שתי אפשרויות. אני ממשיך עם האפשרות של x=3 , כלומר :

B(3,0)​

נמצא את משוואת הישר AB לפי שתי נקודות. תחילה נמצא את השיפוע שלו (הפרש שיעורי y חלקי הפרש שיעורי x ) :

m = (-3-0)/(0-3) = (-3)/(-3) = 1​

מכאן שהשיפוע הוא 1 . נמצא את משוואת הישר לפי הנוסחה :

Y-Y1 = m(X-X1)​

נציב למשל את נקודה B :

y-0 = 1(x-3) y = x-3​

 

[לימור הגאונה]

אני לא מאמינה, טעיתי בשטות

המון תודה נשר. אתה 10