איך מוכיחים ש...

[אמי נ]

איך מוכיחים ש...../images/Emo35.gif

למשוואה m^3 = 2^n +1 אין פתרונות במספרים הטבעיים??? תודה מראש....

 

[איגור קרסיק]

.....

נניח בשלילה שקיימים פיתרונות טיבעיים m,n כנדרש. אז משום ש-

2^n +1​

אי זוגי, אז בהכרח m בשלישית אי זוגי וממילא m אי זוגי. נרשום:

m^3 - 1 =2^n --> (m-1)(m^2 + m + 1) = 2^n​

, אבל משום ש-m אי זוגי אז m-1 זוגי ו-

m^2 + m + 1​

אי זוגי, על כן המכפלה אי זוגית - סתירה!

 

[אמי נ]

תודה, כרגיל תשובה קלה ופשוטה../images/Emo45.gif|תו

 

[Fingertip]

איגור, אני מתפלא עליך!

מכפלה של מספר זוגי במספר אי זוגי היא מספר אי זוגי? אהד.

 

[אמי נ]

חחח...גם גאונים הם בני אדם

 

[Fingertip]

אבל הנה תיקון של ההוכחה...

הגענו למסקנה ש-

(m-1)(m^2+m+1) = 2^n​

אבל m^2 + m + 1 הוא מספר אי זוגי, ולכן 2 אינו מחלק אותו. לכן, כל הגורמים שהם 2 צריכים להופיע בגורם (m-1). מכיוון ששני הגורמים הם מספרים שלמים, הרי שקיים פירוק יחיד לגורמים, נקבל ש-m^2 + m + 1 = 1 (שכן הגורמים היחידים הם 2...), כלומר, m=0 או ש-m=-1 בכל מקרה, הפתרון אינו טבעי. מש"ל. אהד.

 

[אמי נ]

רגע זוגי כפול אי זוגי זה זוגי!!