אז הקטע עם פיבונאצ'י

[Lucifer LightBringer]

הוא שאפשר לעשות את אותה פעולה עם כפל וחיבור.

נגיד משהו כזה: F_{i+2}=F_i+F_{i+1}+-F_i*F_{i+1}, הבעיה שאני לא חושב שיש לנוסחת הנסיגה הזו פיתרון אלמנטרי בדרך שמלמדים בשנה א' במתמטיקה דיסקרטית/קומבינטוריקה.

אולי לנחש פיתרון מהצורה i^k...
מה כבר ה-LLM יודעים שאני לא?!

 

[הפרבולה1]

חידה על סידרת פיבונצי f( n )
הוכיחו ש:

f(n+10) -f( n ) = 11 * f(n+5)​

 

[Lucifer LightBringer]

f(n+10)-f(n+9)+f(n+9)-f(n+8)+...+f(n+1)-f=f(n+8)+f(n+7)+....+f+f(n+1)-f=f(n+1)+...f(n+8)
=f(n+3)+f(n+4)+f(n+5)+f(n+6)+f(n+7)+f(n+8)
=2f(n+5)+f(n+6)+f(n+7)+f(n+8)=(A)
f(n+7)=f(n+5)+f(n+6)
f(n+8)=f(n+6)+f(n+7)=f(n+5)+2f(n+6)
(A)=2f(n+5)+2f(n+5)+3f(n+6)
=4f(n+5)+3f(n+5)+3f(n+4)=7f(n+5)+3(f(n+3)+f(n+2))=
7f(n+5)+3(f(n+5)-f(n+4)+f(n+4)-f(n+3))=
10f(n+5)-3f(n+3)

now let's prove by induction that:
-3f(n+3)=f(n+5)
for n=0:
3f(3)+f(5)=0
don't see why this should be the case

לא הייתי קורא לזה חידה, זה בוודאי תרגיל לא קל לתואר ראשון.

 

[הפרבולה1]

f(n+10)-f(n+9)+f(n+9)-f(n+8)+...+f(n+1)-f=f(n+8)+f(n+7)+....+f+f(n+1)-f=f(n+1)+...f(n+8)
=f(n+3)+f(n+4)+f(n+5)+f(n+6)+f(n+7)+f(n+8)
=2f(n+5)+f(n+6)+f(n+7)+f(n+8)=(A)
f(n+7)=f(n+5)+f(n+6)
f(n+8)=f(n+6)+f(n+7)=f(n+5)+2f(n+6)
(A)=2f(n+5)+2f(n+5)+3f(n+6)
=4f(n+5)+3f(n+5)+3f(n+4)=7f(n+5)+3(f(n+3)+f(n+2))=
7f(n+5)+3(f(n+5)-f(n+4)+f(n+4)-f(n+3))=
10f(n+5)-3f(n+3)

now let's prove by induction that:
-3f(n+3)=f(n+5)
for n=0:
3f(3)+f(5)=0
don't see why this should be the case

לא הייתי קורא לזה חידה, זה בוודאי תרגיל לא קל לתואר ראשון.

לא עקבתי אחרי הכל, זה קצת משובש
בכל אופן זה לא נכון ש 3f(n+3)=-f(n+5)

 

[Lucifer LightBringer]

לא עקבתי אחרי הכל, זה קצת משובש
בכל אופן זה לא נכון ש 3f(n+3)=-f(n+5)

אני אבדוק יותר מאוחר איפה הטעות שלי.
בכל מקרה הרעיון עם סכום טלסקופי זה הדבר הראשון שחשבתי עליו, נראה לי טבעי.
בשאר החלקים ניסיתי להביא למצב של רק f(n+5).

לא ברור לי איך זה אגודל למטה... מי לעזאזל יצר את המערכת היחסית חדשה הזו.

פעם 1ca1 אמר שתפוז יתמוך בלטך... כן בטח.

 

[עריסטו]

f(n+10)-f(n+9)+f(n+9)-f(n+8)+...+f(n+1)-f=f(n+8)+f(n+7)+....+f+f(n+1)-f=f(n+1)+...f(n+8)
=f(n+3)+f(n+4)+f(n+5)+f(n+6)+f(n+7)+f(n+8)
=2f(n+5)+f(n+6)+f(n+7)+f(n+8)=(A)
f(n+7)=f(n+5)+f(n+6)
f(n+8)=f(n+6)+f(n+7)=f(n+5)+2f(n+6)
(A)=2f(n+5)+2f(n+5)+3f(n+6)
=4f(n+5)+3f(n+5)+3f(n+4)=7f(n+5)+3(f(n+3)+f(n+2))=
7f(n+5)+3(f(n+5)-f(n+4)+f(n+4)-f(n+3))=
10f(n+5)-3f(n+3)

now let's prove by induction that:
-3f(n+3)=f(n+5)
for n=0:
3f(3)+f(5)=0
don't see why this should be the case

לא הייתי קורא לזה חידה, זה בוודאי תרגיל לא קל לתואר ראשון.

למה להסתבך, הוכחה פשוטה באינדוקציה. אם השוויון נכון עבור n=k ועבור n=k+1 הוא נכון עבור n=k+2.

 

[Lucifer LightBringer]

למה להסתבך, הוכחה פשוטה באינדוקציה. אם השוויון נכון עבור n=k ועבור n=k+1 הוא נכון עבור n=k+2.

יש לי שטיק לאחרונה לנסות להוכיח דברים ללא אינדוקציה.
זה כמו אלה בלוגיקה אינטואיציוניסטית שרק מקבלים הוכחות קונסטרוקטיביות.
אולי כי אני מרגיש שאינדוקציה זה קל מידי.

אני באמת שלא מבין למה לא ניסיתי אינדוקציה קודם.
בדר"כ במחקר כדי למצוא זהויות חדשות אינדוקציה נועדת רק לאמת את הטענה, זה לא אומר שככה הגיעו לזהות.

 

[הפרבולה1]

יש לי שטיק לאחרונה לנסות להוכיח דברים ללא אינדוקציה.
זה כמו אלה בלוגיקה אינטואיציוניסטית שרק מקבלים הוכחות קונסטרוקטיביות.
אולי כי אני מרגיש שאינדוקציה זה קל מידי.

אני באמת שלא מבין למה לא ניסיתי אינדוקציה קודם.
בדר"כ במחקר כדי למצוא זהויות חדשות אינדוקציה נועדת רק לאמת את הטענה, זה לא אומר שככה הגיעו לזהות.

אפשר גם בלי אינדוקציה
נסמן
F( n ) = x
F( n+1 ) = y
אז באמצעות נוסחת הנסיגה מקבלים ש

f( n+ 5) = 3x+5y
f( n+ 10) = 34x+55y

אז zzz f( n +10 ) - f( n ) = 33x + 55y = 11 * f( n +5 ) zzz

 

[Lucifer LightBringer]

תשובת בינה מלאכותית אחת:
Proof
Step 1: Express the terms using the Fibonacci identity
The Fibonacci identity
Fn+m=Fn−1Fm+FnFm+1cap F sub n plus m end-sub equals cap F sub n minus 1 end-sub cap F sub m plus cap F sub n cap F sub m plus 1 end-sub
is used. The term
Fn+10cap F sub n plus 10 end-sub
is expressed as
Fn+5+5cap F sub n plus 5 plus 5 end-sub
. The term
Fn+5cap F sub n plus 5 end-sub
is expressed as
Fn+5cap F sub n plus 5 end-sub
.
Step 2: Expand the left side of the equation
The left side of the equation is
Fn+10−Fncap F sub n plus 10 end-sub minus cap F sub n
. The term
Fn+10cap F sub n plus 10 end-sub
is expanded using the identity from Step 1. This gives
Fn+10=Fn+5−1F5+Fn+5F5+1=Fn+4F5+Fn+5F6cap F sub n plus 10 end-sub equals cap F sub n plus 5 minus 1 end-sub cap F sub 5 plus cap F sub n plus 5 end-sub cap F sub 5 plus 1 end-sub equals cap F sub n plus 4 end-sub cap F sub 5 plus cap F sub n plus 5 end-sub cap F sub 6
. The values of
F5cap F sub 5
and
F6cap F sub 6
are
55
and
88
respectively. The expression becomes
5Fn+4+8Fn+55 cap F sub n plus 4 end-sub plus 8 cap F sub n plus 5 end-sub
. The left side of the equation is now
5Fn+4+8Fn+5−Fn5 cap F sub n plus 4 end-sub plus 8 cap F sub n plus 5 end-sub minus cap F sub n
.
אופס, משהו השתבש.

 

[Lucifer LightBringer]

בינה מלאכותית יותר חכמה, מגדירה G_n=F_{n+10}-F_{n}-11F_{n+5} ומראה ש-G_n גם כן פיבונאצ'ית ומשם מוכיח שהביטוי הזה שווה לאפס זהותית.

עליי לציין שזו הוכחה מאוד אלגנטית.
תביאו ניחוש מי הבינה המלאכותית הראשונה ומי השנייה?

 

[עריסטו]

לגבי השאלה המקורית - נתונה שם הסדרה
F_{i+2}=F_i+F_{i+1}+-F_i*F_{i+1}
לא ברור מה הכוונה בסימן "-+", בכל מקרה השאלה שם הייתה האם יש פתרון אלמנטרי. מצאתי פתרון אלמנטרי לשתי הסדרות:
F_{i+2}=F_i+F_{i+1}+F_i*F_{i+1}
F_{i+2}=F_i+F_{i+1}-F_i*F_{i+1}
נסו לפתור (למצוא נוסחה שנותנת את האיבר במקום n ישירות, בלי לחשב את האיברים הקודמים).

 

[Lucifer LightBringer]

לגבי השאלה המקורית - נתונה שם הסדרה
F_{i+2}=F_i+F_{i+1}+-F_i*F_{i+1}
לא ברור מה הכוונה בסימן "-+", בכל מקרה השאלה שם הייתה האם יש פתרון אלמנטרי. מצאתי פתרון אלמנטרי לשתי הסדרות:
F_{i+2}=F_i+F_{i+1}+F_i*F_{i+1}
F_{i+2}=F_i+F_{i+1}-F_i*F_{i+1}
נסו לפתור (למצוא נוסחה שנותנת את האיבר במקום n ישירות, בלי לחשב את האיברים הקודמים).

ה-+- זה כמובן אומר שתי המשוואות האלו.
אני לא זוכר אם מלמדים לפתור משוואות נסיגה מהסוג הזה בשנה א' של קומבינטוריקה.
אשמח לראות פיתרון.
טוב אפשר אולי לנחש: F_i=k^i ואז להציב ולפתור את הפולינום:
k^{i+2}=k^i+k^{i+1}+k^{2i+1}
נחלק ב-k^i ונקבל: k^2=1+k+k^{i+1} נקבל: i=ln(k^2-k-1)/ln(k)-1.
ואז לחלק את המקרים שבו k^2-k-1>0 וגם k>0 ולוודא ש-k^2-k-1=1 הפיתרון של k=1 לא פותר את המשוואה הזו. (חוץ מבמקרה שהכרקטריסטיקה מקיימת 2=0 אין בעיה).
כמובן הייתי צריך להפוך כי התלות היא ב-i ולא ב-k. אבל לך תפתור את זה, וזה בוודאי לא פיתרון אלמנטרי.

 

[עריסטו]

ה-+- זה כמובן אומר שתי המשוואות האלו.
אני לא זוכר אם מלמדים לפתור משוואות נסיגה מהסוג הזה בשנה א' של קומבינטוריקה.
אשמח לראות פיתרון.
טוב אפשר אולי לנחש: F_i=k^i ואז להציב ולפתור את הפולינום:
k^{i+2}=k^i+k^{i+1}+k^{2i+1}
נחלק ב-k^i ונקבל: k^2=1+k+k^{i+1} נקבל: i=ln(k^2-k-1)/ln(k)-1.
ואז לחלק את המקרים שבו k^2-k-1>0 וגם k>0 ולוודא ש-k^2-k-1=1 הפיתרון של k=1 לא פותר את המשוואה הזו. (חוץ מבמקרה שהכרקטריסטיקה מקיימת 2=0 אין בעיה).
כמובן הייתי צריך להפוך כי התלות היא ב-i ולא ב-k. אבל לך תפתור את זה, וזה בוודאי לא פיתרון אלמנטרי.

רמז
בסדרה הראשונה, מה מקבלים אם מגדילים כל איבר ב-1?
בסדרה השניה, מה מקבלים אם מקטינים כל איבר ב-1?

 

[הפרבולה1]

רמז
בסדרה הראשונה, מה מקבלים אם מגדילים כל איבר ב-1?
בסדרה השניה, מה מקבלים אם מקטינים כל איבר ב-1?

לגבי הסידרה הראשונה , אז אם שני האברים הראשונים בסידרה הם 1,1 אז האיבר zzz a( n ) zzz שווה:

zzz a( n ) = 2^f( n ) - 1 zzz

כאשר f( n ) זה האיבר ה n בסדרת פיבונצי