אולמפיאדה 2000

[hanandn]

אולמפיאדה 2000

באולימפיאדה הוצגו כמה שאלות שהיה קשה לי להוכיח אם מישהו יכול לעזור זה יהיה מעולה: שלב ב´: 3. מצא את כל השלשות של שלמים a, b, c כך ש- C>B, ו- B>A ו-A גדול או שווה ל-1, כך ש abc מחלק את ab+bc+ac+a+b+c. 8. עשרים אנשים יושבים מסביב לשולחן עגול. לאחר הפסקה הם שבים ומתיישבים מסביב לשולחן לאו דווקא בסדר הקודם. הוכח כי יש שני אנשים שביניהם יושבים אותו מספר של אנשים כפי שהיה לפני ההפסקה. 9.הוכח כי הסכום של כל השברים היסודיים עד אחד חלקי n בסדר עולה אינו שלם לכל n שאינו אחד.

 

[טלמון סילבר]

9

אם הכוונה ל: אחד חלקי 1, + אחד חלקי 2, + אחד חלקי 3, + ... + 1 חלקי n n גדול מ-1 אז לפחות אחד המכנים מספר ראשוני, שלא יצטמצם. אם האבר עם מכנה כזה הוא 1 חלקי p אז סכום שאר האברים, נאמר a חלקי b, כשהמכנה המשותף b הוא גורם של מכפלת שאר המכנים ואינו מתחלק ב-p והסכום הכלל ap+b חלקי bp לא יצטמצם.

 

[hanandn]

השגתי קצת התקדמות לגבי 3...

יש לי זוג אחד שכן מקיים את הנתונים והוא (1, 3 , 7) הבעייה מתחילה כשלאט לאט abc הופך להיות גדול יחסית לעומת הביטוי שבמונה. ומכאן זה בעייתי בשבילי להוכיח שזה אכן כך...