אוילר

[fibonachi]

אוילר

תגיד מי אם הבעיה של הפולינום

 

[אוילר]

עוד לא נפתרה...

אף אחד לא רשם איזו התקדמות.... אני אזכיר אותה ואתן רמזים: נתון ש f גזירה אינסוף פעמים בכל נקודה ובכל נקודה אחת הנגזרות שלה מתאפסת אזי f פולינום.... רמז: הוכיחו בעזרת הלמה של קנטור כי את R לא ניתן לרשום כאיחוד בן מניה של קבוצות שמקיימות את תכונת ה"דלילות": קבוצה A תקרא דלילה אם לכל קטע יש תת קטע שהיא לא חותכת אותו.

 

[fibonachi]

סבבה

את זה הוכחתי וזה אומר שיש קטע שבו היא מתאפס בגלל שהיא לא דלילה והיא רציפה וזה אומר שבקטע הזה היא פולונימיאלית

 

[pallidfool]

אני מגיע

לזה שלכל קטע I קיים תת קטע בו f פולינום.

 

[fibonachi]

אוף

האמת הגעתי גם לזה... בסוף זה יהיה כמו החידה של הפונקציות המחזוריות

 

[אוילר]

עכשיו.....

אם תצליחו להראות כי f פולינום על כל קטע מהצורה(a,b) אז סיימתם.... תוכיחו כי ניתן להציג כל קטע כזה כאיחוד בן מניה של קטעים עליהם f פולינום

 

[אוילר]

אגב...

הטענה שהוכחתם קודם נקראת (הכללה שלה נקראת) משפט בייר...

 

[אוילר]

הערונת..

עדיף להמשיך ככה: תגדירו את A להיות איחוד כל הקטעים הפתוחים עליהם f פולינום..... האם המשלימה של A היא גם בעלת התכונה של "משפט בייר"?למה? ואם כן אז מה? הפתרון הסופי של השאלה מתחבא בין 3 שאלות אלו....

 

[fibonachi]

תגיד, אתה פתרת את זה?

 

[fibonachi]

אגב מה הניסוח המלא של משפט בלייר?

 

[אוילר]

בערך...

כלומר אני פתרתי רק עם הרמז של להסתכל על המשלימה. בשביל הניסוח המלא של משפט בייר צריך כמה הגדרות: א. קבוצה X יחד עם פונק d:XxX->R יקרא מרחב מטרי אם: 1. d(x,y)=0 כאשר (כאשר x ו y איברים בX) אם ורק אם x=y, ואחרת d(x,y)>0. 2. לכל x,y ב X מתקיים (d(x,y)=d(y,x 3. לכל x,y,z ב X מתקיים (d(x,y)+d(y,z)=d(x,z ב. סדרת נקודות x_n במרחב מטרי X תיקרא מתכנסת לנקודה x ב X אם הסדרה d(x_n,x)->0 כאשר n שואף לאינסוף. ג. סדרת נקודות x_n במרחב מטרי X תיקרא סידרת קושי אם לכל e>0 קיים N כך שלכל n,m>N מתקיים d(x_n,x_m)<e . ד. מרחב מטרי יקרא שלם אם כל סידרת קושי בו מתכנסת. ה.תת קבוצה A של מרחב מטרי תיקרא דלילה אם לכל נקודה x ב X ולכל r חיובי ממש קיימת לקבוצה {tEX|d(x,t)<r} תת קבוצה B כך שקיים y ב X ו s חיובי ממש כך ש : {B={tEX|d(y,t)<s כך ש B זרה ל A. ועכשיו סוף סוף משפט בייר: יהי X מרחב מטרי שלם אז את X לא ניתן להציג כאיחוד בן מניה של קבוצות דלילות.

 

[pallidfool]

פתרתי...

אבל זו לא ממש חוכמה כשנתת את כל הרמזים האלה. מה שאני לא עליתי עליו זה השימוש בקטעים פתוחים...

 

[אוילר]

כל הכבוד

 

[fibonachi]

תכל לעלות את ההוכחה?

 

[pallidfool]

לול... אני בושה וחרפה

לא פתרתי. למען האמת, נתקעתי בערך איפה שנתקעתי בנסיון הקודם שלי לפני כל הרמזים: הוכחתי ש- תהי B קבוצת הנקודות שבכל סביבה שלהן f אינה פולינום. אז: כל נקודה של B היא נקודת הצטברות של B, B סגורה, ובכל קטע ב-R קיים קטע זר ל-B.