ε- סביבה של נקודה.

[Renatius Cartesius]

ε- סביבה של נקודה.

יש לי בעיה עם הנושא הזה מאינפי 1. הנה 5 תרגילים להוכחה. 1. הוכח כי בקטע פתוח (a,b) (כולל ש- a=-∞ או b= ∞) כל נקודה ששיכת אליו היא נקודה פנימית. האם הטענה נכונה כאשר הקטע הוא חצי פתוח או הקטע סגור? 2.הוכח כי אם הנקודה x1 שייכת לסביבה ε- סביבה של נקודה x0 אזי קיימת δ- סביבה של x1 שמוכלת בסביבה הקודמת. 3.הוכח: לכל שתי נקודות שונות xo ו- x קיימת ε- סביבה של x0 ו- ε- סביבה של x1 ללא שום נקודה משותפת. 4.הוכח כי אם נקודה x0 אינה שייכת לקטע הסגור [a,b] אזי קיימת ε- סביבה של x0 אשר לא מכילה שום נקודה מן הקטע [a,b]. 5.מצורף קובץ. תודה ענקית לעוזרים.

 

[gil levi]

שאלה 1- בניפנופי ידיים.

נניח שa וb אינם אינסוף או מינוס אינסוף. תהי נקודה t בקטע, אזי a<t<b, לכן קיימת נקודה a1 בין a לt וקיימת נקודה b1 בין t לb. נניח שa1 יותר קרובה לt מאשר שb1 קרובה לt ונסמן באפסילון את המרחק בין t לa1, והא לך סביבה של t שמוכלת ממש בקטע (a,b). אם b1 יותר קרובה לt מאשר שa1 קרובה לt אז נסמן באפסילון את המרחק בין b1 לt והא לך סביבה של t שמוכלת ממש בקטע (a,b). אם הקטע חצי פתוח או סגור, אז כמובן שהטענה לא נכונה. דוגמא נגדית: הקטע [1,2] והנקודהt=1. אין סביבה של t=1 שמוכלת ממש בקטע. סלח לי אם יש כאן אי-דיוקים, אינפי1 היה מזמן... ולהבא תשרשר.

 

[gil levi]

לגבי 2,

נראה לי שזה נובע ישירות מ1. פשוט ניקח a=x0-eps,b=x0+eps. נתון שx1 מוכלת בסביבת אפסילון של x0, כלומר היא שייכת לקטע (a,b) ולפי 1 היא נקודה פנימית בו, כלומר קיימת סביבה של x1 שמוכלת בקטע (a,b).

 

[gil levi]

תיקון:

"...והא לך סביבה של t שמוכלת ממש בקטע (a,b). אם b1 יותר קרובה לt מאשר שa1 קרובה לt אז נסמן באפסילון את המרחק בין b1 לt והא לך סביבה של t שמוכלת ממש בקטע (a,b)...." לא צריך מוכלת ממש, ובמקום "סביבה של t" נכתוב "קבוצה פתוחה שמכילה את t" ונקלע להגדרות הפורמליות.

 

[Renatius Cartesius]

ואם...

נסמן את b1-a1 כאפסילון, הרי גם אז t מוכלת בקטע (a,b). או שאני טועה כאן?

 

[gil levi]

ראשית, בוודאי התכוונת לשאול

"ואם נסמן את b1-a1 כאפסילון, הרי גם אז נקבל *סביבת אפסילון של t* שמוכלת בקטע (a,b). או שאני טועה כאן?" אז אתה טועה. תסתכל על הקטע הבא כדוגמא נגדית:

a----------a1--t----------------------------b1--------b 0----------1---2----------------------------5---------8​

 

[הדיברגנץ]

האחרון

אפתור לך את האחרון מפני שזה יותר נוח כשזה בקובץ:

if so |xy-x0y0| = |xy -xy0 + xy0 - x0y0| ≤ |xy-xy0| + |xy0-x0y0| = |x||y-y0| + |y0||x-x0| אבל מפני שנתון |x-x0|<e |y-y0|<e אז |x-x0|<e ==> -e<x-x0<e ==> -|x0|-e < x0-e<x<e+x0 < e+|x0| ==> |x|<e+|x0| כנל לגבי y. נשאר להציב ולראות שזה מתקיים באמת. |x||y-y0| + |y0||x-x0| < (e+|x0|)e + |y0|e = e(|x0|+|y0|+e)​

 

[gil levi]

לגבי 3 -רמז עבה.

סביבה של נקודה t = קטע פתוח שt מוכלת בו. נניח ש x0<x1. תסתכל על הממוצע של x0 וx1, אם הממוצע הוא m אז הוא המרחק בין x0 ל m שווה בדיוק למרחק בין x1 לm. קח אפסילון = המרחק בין x0 לm. הסביבה של x0 תהיה (xo-eps,x0+eps)...

 

[AnarchistPhilosopher]

בקשר ל-4.

אם הנקודה x0 אינה שייכת לקטע הסגור, ניתן להניח ש-x0>b, נקח e=x0-b אז x0-e=b<x0<x0+e ואכן הסביבה הזו אינה מכילה אף נקודה מהקטע הסגור הנתון.

 

[AnarchistPhilosopher]

זה צריך להיות:

x0-e=b<x0<x0+e

 

[Renatius Cartesius]

תודה רבה!!!!!!!

חג שמח!

 

[Renatius Cartesius]

הסתבכתי...

אני צריך להוכיח שהפונקציה שבקובץ חסומה לתחום של x גדול או שווה לשתיים. תודה!

 

[הדיברגנץ]

ככה אפשר

קודם

f(x) = (x+2)/(2x-3) = ½(2x+4)/(2x-3) = ½(2x+4-7+7)/(2x-3) = ½(2x-3+7)/(2x-3) = ½ + 7/(2x-3)​

לכן עבור x≥2 הפונקציה f רציפה כסכום וכמנה של פונ' רציפות (המכנה שונה מאפס עבור x≥2). עכשיו מפני ש

lim f(x) = ½ x->∞​

אז עבור ε=1 קיים N<2 כך שלכל x>N מתקיים

|f(x)-0| <1 |f(x)| < 1​

כלומר עבור x>N בפונקציה f חסומה ע"י 1. כעת, מפני שהפונקציה רציפה עבור x≥2, אז בפרט היא רציפה בקטע [two,N]. ולפי המשפט הראשון של ויירשטראס, אם פונקציה רציפה בקטע סגור היא חסומה בו, נסיק כי f חסומה שם ונסמן חסם זה ב-α. אם נבחר

S = max{α,1} נסיק ש |f(x)| < S בקטע [2,∞)​

 

[הדיברגנץ]

תיקון קטן לגבי הגבול

אמור להיות

|f(x)-½| < 1 0.5 <f(x)< 1.5 |f(x)| < 1.5​

כלומר הפונקציה חסומה ע"י 1.5 ולא 1 כפי שרשום.

 

[1קישקשתה]

אבל הוא בסך הכול התבקש

להוכיח שהפונקציה חסומה בתחום מסוים, מדוע אם כן יש להשתמש בתכונות רציפות של פונקציה החסומה בקטע סגור? לכל x≥2 המונה והמכנה הם חיוביים ולכן הפונקציה חסומה מלרע (ע"י 0 למשל). כמו"כ, לכל x חיובי, חסומה הפונקציה מלעיל ע"י 10 למשל. בפרט עבור x≥2. וסיימנו.

 

[הדיברגנץ]

כמובן ../images/Emo163.gif

אבל צריך להוכיח שהיא מונוטונית יורדת בתחום הזה כדי להראות שיש לה חסם מלעיל. וזה לא בעיה גם כן.

 

[1קישקשתה]

לא צריך שום מונוטוניות

פשוט פותרים את האי-שוויון הבא:

( x+ 2 ) / ( 2x - 3 ) < 10​

ומגלים שפתרונו הוא : x > 32/19 ובפרט הוא נכון עבור התחום המבוקש בשאלה.

 

[Renatius Cartesius]

למה דווקא 10?

 

[1קישקשתה]

סתם כי התתחשק לי

יכולת לבחור בתור חסם מלעיל גם את המספר 1000 או 36377 ולהראות שהאי-שוויון מתקיים עבור תחום שמכיל את התחום המבוקש בשאלה, וסיימת. סיבה: אם האי-שוויון נכון עבור תחום המכיל את התחום המבוקש בשאלה, בפרט האי-שוויון יתקיים גם עבור התחום המבוקש בשאלה... מהתבוננות במונה ובמכנה, קל לראות שהפונקציה הזו לא תגיע רחוק בחיים...

 

[Renatius Cartesius]

ואם להשתמש בהגדרה...

שהפונקציה Y חסומה בתחום D אם קיים מספר ממשי M כך ש (הפונקציה בערך מוחלט) קטנה או שווה ל M לכל X ב D. איך זה יראה? תודה.