n פעמים n

[עריסטו]

n פעמים n

כותבים על הלוח n פעמים את המספר n. מבצעים n-1 פעמים את הפעולה הבאה: מוחקים שני מספרים (נסמן אותם a ו - b) מהלוח ובמקומם כותבים רבע מסכומם. בסוף נשאר על הלוח מספר אחד. הוכיחו שהמספר הזה לעולם אינו קטן מ - 1.

 

[עריסטו]

המלים בסוגריים מיותרות

 

[עורוס]

ניסיון... ../images/Emo97.gif

ממש לא בטוח בזה

N N N N N N N.... N N N את מוחק את שני ה-n האחרונים וכותב במקומן 2n/4= n/2 N N N N N N N.... N n/2 אחר כך אתה מוחק את ה- 2n/4 ועוד n וכותב במקומן 3n/2 =6n/4 N N N N N N N.... 3n/2 ועוד פעם... N N N N N N N.... 5n/2 כלומר שתמיד מספר ה-n שאתה מחלק בשתיים יגדל [וכבר בשלב השני אפשר לראות שמספר ה-n גדול משתיים => המספר שיתקבל בסוף לא יהיה n] רק שיש תנאי שצריך להיות ש- n>2... נראה לי שאיבדתי כיוון לגמרי

 

[odedra10]

ניסיון אחר ....

אני חושב שאפשר לחלק את זה ל 2 : כאשר n<4 כלומר 1,2,3 ואז פשוט לחשב ולראות שזה מתאים וכאשר n>4 ואז : אתה מבצע את פעולת החילוק והמחיקה n-1 פעמים, בוא נאמר שכל פעם אתה לוקח את השארית ואת n ואותם מוחק ומחלק, כך שבסוף הפעולה האחרונה שלך תהיה המספר n (האחרון שישאר ) ועוד השארית לחלק ל - 4 . וכאשר n מוגדר כרגע כגדול מ - 4 אזי המספר לא יכול להיות קטן מ - 1 . אני מקווה שההסבר שלי מובן ...

 

[עריסטו]

לא מובן

לא ביקשתי להוכיח שניתן|שדגש| להגיע למספר שאינו קטן מ-1 אלא שהמספר האחרון תמיד קטן מ-1.

 

[עריסטו]

תיקון

לא מובן לי מה רצית להוכיח. לא ביקשתי להוכיח שניתן להגיע למספר שאינו קטן מ-1 אלא שהמספר האחרון תמיד קטן מ-1.

 

[היחיד במינו]

נראה לי שטעית

"אלא שהמספר האחרון תמיד קטן מ-1." "הוכיחו שהמספר הזה לעולם אינו קטן מ - 1." אז מה מביניהם נכון?

 

[srulikbd]

הוא התבלבל../images/Emo70.gif

המספרים תמיד גדולים מאחד, כל עוד n גדול מאחד או שווה לאחד.

 

[עריסטו]

טעיתי

צריך להוכיח שהמספר האחרון לעולם אינו קטן מ - 1.

 

[srulikbd]

תמיד גדול מאחד או שווה לא ../images/Emo70.gif../images/Emo70.gif../images/Emo70.gif

 

[srulikbd]

לו*

 

[odedra10]

אני ניסיתי להוכיח

שהמספר הנותר תמיד גדול מ- 1 אם צריך להוכיח שהוא קטן מ - 1 אני לא חושב שזה אפשרי ...

 

[היחיד במינו]

זה מה שהיית צריך להוכיח

 

[עריסטו]

נכון, טעיתי

צריך להוכיח שהוא גדול או שווה ל - 1. לא הוכחת זאת...

 

[srulikbd]

../images/Emo62.gif הוכחה כשהמספר האחרון=1

המספר האחרון שווה 1 רק כאשר n שווה ל-z 2^x z כש-x גדול או שווה לאפס, והוא מספר שלם. כמובן כש-x שווה לאפס, אז n=1 ואז מבצעים את הפיולה 0 פעמים, ולכן המספר האחרון הוא כמובן 1. כש-ס שווה 1, אז מה שעושים נראה ככה: z 2(2^x)/4 z ועושים את זה z 2^x/2 z פעמים. זאת אומרת שאם x=1 התוצאה היא 1. כש x=2 עושים z 4(2^x)/16 z ועושים את זה z 2^x/4 z פעמים. וזה גם יוצא אחד. למה? כי המספר שמחות לסזוגריים מוכפל פי 2, והמספר שבתוך הסוגריים גם מוכפל פי 2, והמחלק מוכפל פי 4, ו z 2*2=4 z ולכן התוצאה לא משתנת, והיא נשארת כמו שהייתה קודם-1. וככה בעזרת אינדוקציה, מוכיחים את המשפט הראשון שכתבתי. זו הוכחה חלקית, אני עובד כרגע על הבאות...מקווה שהבנתם, כי לא היה לי כוח להסביר איך הגעתי לזה...

 

[עריסטו]

מצטער, לא הבנתי כלום ../images/Emo163.gif

 

[srulikbd]

צריך להוכיח את זה גם עבור שברים../images/Emo35.gif

 

[עריסטו]

לא הבנתי את השאלה

מה קורה לי היום?

האם אתה מתכוון לשאול האם n יכול להיות שבר? כתבתי בחידה שכותבים n פעמים את המספר n. איך אפשר לכתוב מספר 5 וחצי פעמים?

 

[srulikbd]

כן זה מה שהתכוונתי...

שאלה מוזרה, אבל ליתר ביטחון...

 

[Tesseract]

חצי ../images/Emo62.gif

עבור n=1: הפעולה מבוצעת 0 = 1-1 פעמים, ולכן המספר 1 נשאר. עבור n>1, טבעי ומהצורה z 2^x z (להתעלם מה-zים) עבור x>0 וטבעי: לפי ההנחה, z 2^x=n z, כלומר x=log²n (כלומר log מסדר 2 של n.. נראה לי.. לא למדתי לוגריתמים עדיין

. בכתיב מחשבוני: logn:log2). כאשר n=2^1=2,הפעולה הנ"ל מבוצעת פעם אחת: z 2*2/4=1 z או z 2*(2/4)=1 z. עבור 4, מבוצעת 3 פעמים: z 4*(2/4) z - הפעולה הזאת מבוצעת פעמיים (שני זוגות של 4), שאחר כך מחברים אותם ומחלקים שוב ב-4, ובסה"כ: z 4*2/4*2/4 z או z 4*(2/4)*(2/4) z. עבור 8: z 8*2/4*2/4*2/4 z או z 8*0.5*0.5*0.5 z ... עבור n מצורת z 2^x z: המספר שנשאר בסוף הוא z n*0.5^x z או z n*0.5^log²n z, שזה z n/2^log²n z שזה בעצם n/n=1.