שרשור חידות
- פותח הנושא yak141
- פורסם בתאריך
טלמון סילבר
New member
הפתרון נכון כמובן.
תראה מה קורה למקבילית שלך, כאשר אנו מרחיבים או מצירים את הנהר, כאשר מרחקי הישובים מגדותיו נשארים קבועים: שום דבר לא משתנה! אז פשוט נצמצם את רוחב הנהר ל-0, נעביר את הישר בין שני הישובים, ונרחיב בחזרה את הנהר כמה שאנחנו רוצים, כאשר מרחקי הישובים נשארים קבועים. זה בעצם המקבילית שלך נעשית צרה יותר, עד 0, ואח"כ שוב מתרחבת. מכיוון שהגשר עצמו מאונך לגדות, האורך שלו (של הגשר) אינו משפיע.
תראה מה קורה למקבילית שלך, כאשר אנו מרחיבים או מצירים את הנהר, כאשר מרחקי הישובים מגדותיו נשארים קבועים: שום דבר לא משתנה! אז פשוט נצמצם את רוחב הנהר ל-0, נעביר את הישר בין שני הישובים, ונרחיב בחזרה את הנהר כמה שאנחנו רוצים, כאשר מרחקי הישובים נשארים קבועים. זה בעצם המקבילית שלך נעשית צרה יותר, עד 0, ואח"כ שוב מתרחבת. מכיוון שהגשר עצמו מאונך לגדות, האורך שלו (של הגשר) אינו משפיע.
טלמון סילבר
New member
הפתרון, וכן הערות, מעליך.
אז גם אתה ותיק בחלד? חשבתי שרק אני נשארתי מהדור ההוא...
אז גם אתה ותיק בחלד? חשבתי שרק אני נשארתי מהדור ההוא...
../images/Emo58.gifהפתרון שלי
יש לבנות מקבילית ACBD ( כאשר A ו B הם מיקום הישובים ) כאשר BD שווה ל AC שווה לרוחב הנהר ומאונך לו. נקודות החיתוך של AD עם הגדה הקרובה ל A ( נקודה F ) ושל BC עם הגדה הקרובה ל B ( נקודה E ) הם מיקום הגשר. אפשר להראות שהגשר EF אנכי לנהר והדרך A-F-E-B היא הקצרה ביותר.
יש לבנות מקבילית ACBD ( כאשר A ו B הם מיקום הישובים ) כאשר BD שווה ל AC שווה לרוחב הנהר ומאונך לו. נקודות החיתוך של AD עם הגדה הקרובה ל A ( נקודה F ) ושל BC עם הגדה הקרובה ל B ( נקודה E ) הם מיקום הגשר. אפשר להראות שהגשר EF אנכי לנהר והדרך A-F-E-B היא הקצרה ביותר.
שתי חידות ברמה גבוהה יותר
אמנם פרסמתי לפני כשנה את שתי החידות, אך מכיוון שהצטרפו הרבה חברים חדשים לפורום אני מפרסם אותן שוב: א. לפניכם גוף בעל 131073 פאות. כל הפאות ממוספרות מ-1 ועד ל- 131073. שטח כל פאה כמספרה. כלומר, שטח הפאה שמספרה 1 הוא 1 סמ"ר, שטח המפאה שמספר 2 הוא 2 סמ"ר וכו'. ממרכז כל פאה יוצא ווקטור הניצב לפאה והשווה בגודלו למספר הפאה. מהו הסכום הווקטורי של כל 131073 הווקטורים? רמז: את השאלה קיבלתי בשעור הווקטורים הראשון שהיה לי עוד בהיותי תלמיד בבית הספר התיכון. כלומר, לא כדאי ללכת על אלגברה גבוהה במיוחד, אם כי גם פתרון מסוג זה אפשרי. ב. נתון לכם מעגל שמרכזו מסומן. השתמשו בסרגל בלבד כדי לבנות ריבוע החסום במעגל. השאלה היא מסוג השאלות של בניות בעזרת סרגל ומחוגה. הפעולות שניתן לבצע בעזרת סרגל הן: לחבר שתי נקודות בקו ישר לחלוטין. לא ניתן להעביר משיק בהסתמך על נקודה אחת בלבד על המעגל, ולא ניתן לבחור נקודות מיוחדות על המעגל, לדוגמה, אם יש לכם קשת במעגל לא ניתן לחבר את אמצע הקשת עם המרכז אלא צריך להסביר כיצד מצאתם את אמצע הקשת. ב ה צ ל ח ה ! לכולם.
אמנם פרסמתי לפני כשנה את שתי החידות, אך מכיוון שהצטרפו הרבה חברים חדשים לפורום אני מפרסם אותן שוב: א. לפניכם גוף בעל 131073 פאות. כל הפאות ממוספרות מ-1 ועד ל- 131073. שטח כל פאה כמספרה. כלומר, שטח הפאה שמספרה 1 הוא 1 סמ"ר, שטח המפאה שמספר 2 הוא 2 סמ"ר וכו'. ממרכז כל פאה יוצא ווקטור הניצב לפאה והשווה בגודלו למספר הפאה. מהו הסכום הווקטורי של כל 131073 הווקטורים? רמז: את השאלה קיבלתי בשעור הווקטורים הראשון שהיה לי עוד בהיותי תלמיד בבית הספר התיכון. כלומר, לא כדאי ללכת על אלגברה גבוהה במיוחד, אם כי גם פתרון מסוג זה אפשרי. ב. נתון לכם מעגל שמרכזו מסומן. השתמשו בסרגל בלבד כדי לבנות ריבוע החסום במעגל. השאלה היא מסוג השאלות של בניות בעזרת סרגל ומחוגה. הפעולות שניתן לבצע בעזרת סרגל הן: לחבר שתי נקודות בקו ישר לחלוטין. לא ניתן להעביר משיק בהסתמך על נקודה אחת בלבד על המעגל, ולא ניתן לבחור נקודות מיוחדות על המעגל, לדוגמה, אם יש לכם קשת במעגל לא ניתן לחבר את אמצע הקשת עם המרכז אלא צריך להסביר כיצד מצאתם את אמצע הקשת. ב ה צ ל ח ה ! לכולם.
IsraeliSecretToilets
New member
דוקא ב' היא לא כזאת קשה ../images/Emo12.gif
טענה 1: בהנתן מעגל ונקודה עליו אפשר לבנות באמצעות סרגל בלבד את המשיק דרך נקודה זו הסבר: משפט פסקל אומר שאם יש לי 3 נקודות על מעגל ABC ועוד 3 נקודות על אותו מעגל DEF אז אם P היא נק' המפגש של AE כם BD, הנקודה Q היא נק' המפגש של AF עם DC והנקודה R היא נק' המפגש של BF עם CE אזי הנקודות PQR נמצאות על ישר אחד. בהנתן מעגל והנקודה A, אפשר לבחור עליו 4 נק' שרירותיות נוספות (על ידי העברת מיתרים וסימון נק' המפגש של המיתרים עם המעגל) שתשמשנה בתור BCDF, להניח שהנקודות A ו-E מתלכדות ולבנות את הישר AE לפי שאר הנקודות והמשפט. נקבל שהישר AE משיק למעגל. טענה 2: בהנתן ישר l ונקודה מחוץ לישר P ניתן להעביר באמצעות סרגל בלבד ישר העובר דרך P ומקביל ל-l אופן הבניה: בחר נק' שרירותית Q. נעביר את הישר PQ שיפגוש את l בנקודה A (A הוא השם של הנקודה שבה PQ פוגש את l. לא בחרנו את A מראש). נבחר שתי נקודות נוספות על l בשם B,C ונעביר את הישרים QB ו-QC. לאחר מכן נעביר את הישר PC שיפגוש את QB בנקודה T. נעביר את הישר AT שיפגוש את QC בנקודה R. הישר PR הוא הישר העובר דרך P ומקביל ל-l. הנכונות נובעת מתכונות המרובע השלם ומשפט על היחס הכפול במרובע השלם. מכאן זה פשוט. נקח את המעגל הנתון עם המרכז. נעביר דרך המרכז קוטר. באחת מנק' המפגש של הקוטר עם המעגל לפי טענת עזר 1 נעביר משיק למעגל. לפי טענת עזר 2 נעביר דרך המרכז ישר המקביל למשיק. הישר הזה במקרה גם יהיה מאונך לקוטר שאנחנו בנינו ויהיה קוטר בעצמו. מכאן קיבלנו שני קטרים שניצבים זה לזה. 4 נק' המפגש שלהם עם המעגל הם קדקודי הריבוע שחיפשנו. מש"ל.
טענה 1: בהנתן מעגל ונקודה עליו אפשר לבנות באמצעות סרגל בלבד את המשיק דרך נקודה זו הסבר: משפט פסקל אומר שאם יש לי 3 נקודות על מעגל ABC ועוד 3 נקודות על אותו מעגל DEF אז אם P היא נק' המפגש של AE כם BD, הנקודה Q היא נק' המפגש של AF עם DC והנקודה R היא נק' המפגש של BF עם CE אזי הנקודות PQR נמצאות על ישר אחד. בהנתן מעגל והנקודה A, אפשר לבחור עליו 4 נק' שרירותיות נוספות (על ידי העברת מיתרים וסימון נק' המפגש של המיתרים עם המעגל) שתשמשנה בתור BCDF, להניח שהנקודות A ו-E מתלכדות ולבנות את הישר AE לפי שאר הנקודות והמשפט. נקבל שהישר AE משיק למעגל. טענה 2: בהנתן ישר l ונקודה מחוץ לישר P ניתן להעביר באמצעות סרגל בלבד ישר העובר דרך P ומקביל ל-l אופן הבניה: בחר נק' שרירותית Q. נעביר את הישר PQ שיפגוש את l בנקודה A (A הוא השם של הנקודה שבה PQ פוגש את l. לא בחרנו את A מראש). נבחר שתי נקודות נוספות על l בשם B,C ונעביר את הישרים QB ו-QC. לאחר מכן נעביר את הישר PC שיפגוש את QB בנקודה T. נעביר את הישר AT שיפגוש את QC בנקודה R. הישר PR הוא הישר העובר דרך P ומקביל ל-l. הנכונות נובעת מתכונות המרובע השלם ומשפט על היחס הכפול במרובע השלם. מכאן זה פשוט. נקח את המעגל הנתון עם המרכז. נעביר דרך המרכז קוטר. באחת מנק' המפגש של הקוטר עם המעגל לפי טענת עזר 1 נעביר משיק למעגל. לפי טענת עזר 2 נעביר דרך המרכז ישר המקביל למשיק. הישר הזה במקרה גם יהיה מאונך לקוטר שאנחנו בנינו ויהיה קוטר בעצמו. מכאן קיבלנו שני קטרים שניצבים זה לזה. 4 נק' המפגש שלהם עם המעגל הם קדקודי הריבוע שחיפשנו. מש"ל.
טלמון סילבר
New member
אפשר בלי משפט פסקל (שלא לומדים
אותו בתיכון). מעבירים דרך המרכז שני קְטרים ומקבלים מלבן. מוצאים את מרכזי כל צלעותיו כמו בחידה על חילוק העוגה ל-5 חלקים (משפט הטרפז), ומקבלים שני קטרים מאונכים.
אותו בתיכון). מעבירים דרך המרכז שני קְטרים ומקבלים מלבן. מוצאים את מרכזי כל צלעותיו כמו בחידה על חילוק העוגה ל-5 חלקים (משפט הטרפז), ומקבלים שני קטרים מאונכים.
IsraeliSecretToilets
New member
אבל אני אוהב את משפט פסקל ../images/Emo3.gif
טלמון סילבר
New member
כבר היצגתי בפורום את חידת העוגה
ושם, כחידת ביניים, היתה החידה - למצוא באמצעות סרגל בלבד (ה"יודע" רק להעביר ישר בין שתי נקודות) את מרכזי הצלעות של ריבוע. כתבתי "ריבוע", כי זו היתה צורת העוגה, אבל הפתרון מתאים לכל מקבילית. אם אינך מכירה את החידה, את מוזמנת לנסות לפתור אותה. או את רוצה מייד את הפתרון? כבר נתתי לו רמז, כאשר הזכרתי "משפט טרפז". כן, כן! בדיוק משפט הקשור ישירות לטרפז.
ושם, כחידת ביניים, היתה החידה - למצוא באמצעות סרגל בלבד (ה"יודע" רק להעביר ישר בין שתי נקודות) את מרכזי הצלעות של ריבוע. כתבתי "ריבוע", כי זו היתה צורת העוגה, אבל הפתרון מתאים לכל מקבילית. אם אינך מכירה את החידה, את מוזמנת לנסות לפתור אותה. או את רוצה מייד את הפתרון? כבר נתתי לו רמז, כאשר הזכרתי "משפט טרפז". כן, כן! בדיוק משפט הקשור ישירות לטרפז.
טלמון סילבר
New member
הזכרתי כבר משפט טרפז
המספק פתרון פשוט מאוד. הוא כבר נידון במסגרת "חידת העוגה", שגם היא נידונה בפורום בהרחבה. לחזור ולפרט, למי שלא מכיר? טוב, אספר\אזכיר את החידות - ללא הפתרונות. 1. נתונה עוגה בצורת ריבוע (החידה נכונה גם לכל מלבן, וגם לכל מקבילית). נתונים אמצעי ארבע הצלעות. צריך באמצעות סרגל בלבד ("היודע" להעביר ישר בין שתי נקודות) לחלק את העוגה ל-5 חלקים שווי-שטח. 2. אותו דבר, אבל מרכזי הצלעות אינם נתונים. כלומר, צריך למצוא באמצעות סרגל בלבד את אמצעי צלעותיו של ריבוע נתון (או מקבילית כלשהי). ואז, כמובן, אפשר לפרוס את העוגה כמו בחידה 1. הערה: פתרון חידה 2 מספק פיתרון מיידי גם לחידה על חסימת ריבוע במעגל שמרכזו נתון.
המספק פתרון פשוט מאוד. הוא כבר נידון במסגרת "חידת העוגה", שגם היא נידונה בפורום בהרחבה. לחזור ולפרט, למי שלא מכיר? טוב, אספר\אזכיר את החידות - ללא הפתרונות. 1. נתונה עוגה בצורת ריבוע (החידה נכונה גם לכל מלבן, וגם לכל מקבילית). נתונים אמצעי ארבע הצלעות. צריך באמצעות סרגל בלבד ("היודע" להעביר ישר בין שתי נקודות) לחלק את העוגה ל-5 חלקים שווי-שטח. 2. אותו דבר, אבל מרכזי הצלעות אינם נתונים. כלומר, צריך למצוא באמצעות סרגל בלבד את אמצעי צלעותיו של ריבוע נתון (או מקבילית כלשהי). ואז, כמובן, אפשר לפרוס את העוגה כמו בחידה 1. הערה: פתרון חידה 2 מספק פיתרון מיידי גם לחידה על חסימת ריבוע במעגל שמרכזו נתון.
טלמון סילבר
New member
לא. מותר רק להעביר ישר בין 2 נקודות
../images/Emo58.gif ניסיון ל א
לכל פאה יש צד חיצוני (שפונה החוצה) וצד פנימי ( שפונה לתוך הגוף ). נסתכל על ההיטל של גוף זה על מישור הטלה העומד מאחורי הגוף. לכל פאה יש היטל ( צל אם נדמין שמאירים את הגוף בקרניים מאונכות למישור ההטלה ) ששיטחו קטן או שווה לשטח הפאה ויחס השטחים הוא cos הזוית בין משור הפאה למישור ההטלה ונחליט שהשטח הוא שלילי אם הצד החיצוני של הפאה פונה אל מישור ההטלה וחיובי אם הצד הפנימי הוא שפונה למישור ההטלה. כיוון שהגוף סגור אז סכום השטחים של הטלי כל הפאות הוא 0 נסתכל על היטל כל הוקטורים על אנך למישור ההטלה, ארך ההיטל של כל וקטור כזה הוא cos הזוית בין הוקטור לאנך, שזה אותה זוית בין מישור הפאה למישור ההטלה. וכיו שאורך כל וקטור פורפוציוני לפאה שלה הוא מאונך, וכיווןן שסכום שיטחי היטלי הפאות הוא 0 אז גם סכום רכיבי הווקטור על האנך למישור ההטלה הוא 0 . וזה נכון לכל מישןר הטלה שנבחר ולכן סכום רכיבי הווקטורים על כל ישר שרירותי הוא 0 => סכום הוקטורים הוא 0 .
לכל פאה יש צד חיצוני (שפונה החוצה) וצד פנימי ( שפונה לתוך הגוף ). נסתכל על ההיטל של גוף זה על מישור הטלה העומד מאחורי הגוף. לכל פאה יש היטל ( צל אם נדמין שמאירים את הגוף בקרניים מאונכות למישור ההטלה ) ששיטחו קטן או שווה לשטח הפאה ויחס השטחים הוא cos הזוית בין משור הפאה למישור ההטלה ונחליט שהשטח הוא שלילי אם הצד החיצוני של הפאה פונה אל מישור ההטלה וחיובי אם הצד הפנימי הוא שפונה למישור ההטלה. כיוון שהגוף סגור אז סכום השטחים של הטלי כל הפאות הוא 0 נסתכל על היטל כל הוקטורים על אנך למישור ההטלה, ארך ההיטל של כל וקטור כזה הוא cos הזוית בין הוקטור לאנך, שזה אותה זוית בין מישור הפאה למישור ההטלה. וכיו שאורך כל וקטור פורפוציוני לפאה שלה הוא מאונך, וכיווןן שסכום שיטחי היטלי הפאות הוא 0 אז גם סכום רכיבי הווקטור על האנך למישור ההטלה הוא 0 . וזה נכון לכל מישןר הטלה שנבחר ולכן סכום רכיבי הווקטורים על כל ישר שרירותי הוא 0 => סכום הוקטורים הוא 0 .
הממ....
הפתרון הסופי נכון, אכן הסכום הקווקטורי שווה לאפס אך נראה לי שיהייה לך קשה להוכיח פרטים בהוכחה שלך דוגמת "וכיון שהגוף סגור אז סכום השטחים של הטלי כל הפאות הוא 0". יש פתרון יפה יותר שהוא קצת פחות סטנדרטי וקצת פחות מתמטי. למעשה, הוא לא משתמש בשיקולים מתמטיים כלל. יישר כח| ובהצלחה בהמשך...
הפתרון הסופי נכון, אכן הסכום הקווקטורי שווה לאפס אך נראה לי שיהייה לך קשה להוכיח פרטים בהוכחה שלך דוגמת "וכיון שהגוף סגור אז סכום השטחים של הטלי כל הפאות הוא 0". יש פתרון יפה יותר שהוא קצת פחות סטנדרטי וקצת פחות מתמטי. למעשה, הוא לא משתמש בשיקולים מתמטיים כלל. יישר כח| ובהצלחה בהמשך...
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.