תרגיל

[טלמון סילבר]

../images/Emo35.gif תרגיל

אמנם לא קשה, אבל, לדעתי, יותר דומה לחידה (קלה). צריך לפשט את הביטוי:

sqrt(3+sqrt(3)+(10+6*sqrt(3))^(1/3)) - sqrt(3) = ?​

אני מציע ל"מקצוענים" להשאיר את פתרון התרגיל ל"חובבים"

 

[Assi71]

../images/Emo9.gifחמוד

 

[טלמון סילבר]

המממ... כנראה קלקלתי,

עם החלוקה (הבלתי מחייבת!) ל"מקצוענים" ו"חובבים", כי לכל מי שיכול לפתור לא נעים להגדיר את עצמו כ"חובב נחות"

בקיצור, מי מתנדב לכתוב את הפתרון?

 

[inbal76]

עשית משהו יותר גרוע מזה אפילו ../images/Emo8.gif

גרמת לחלק מאיתנו (בלי להזכיר שמות, מתחיל ב-ע' נגמר ב-ל' באמצע יש נ' ו-ב') להרגיש נחותים יותר מחובבים אפילו, כי אין להם שמץ מושג איך לפתור...

 

[Assi71]

../images/Emo62.gifפתרון

הפתרון

 

[טלמון סילבר]

הסבר הרעיון הכללי

כאשר מעלים את הביטוי ((a + b * sqrt(3) בחזקה טבעית כלשהי, למשל באמצעות בינום ניוטון, כאשר a ו-b מספרים שלמים, מתקבל שוב ביטוי מסוג זה - כי החזקות הזוגיות של שורש 3 הולכות למספר השלם, והחזקות האי-זוגיות - נותנות שוב שורש 3 מוכפל במספר שלם. לכן, מנסים לנחש איזה a ו-b בחזקת 3 יתנו את הביטוי הפנימי, ועולים מהר על a=b=1. אח"כ - כנ"ל לחזקת 2.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo13.gif וכמובן ../images/Emo127.gif

 

[עריסטו]

והנה עוד תרגילים בפישוט

מסודרים מהפשוט למסובך: נסמן סינוס של 10 מעלות = a סינוס של 50 מעלות = b סינוס של 70 מעלות = c לחשב:

a+b-c abc 1/a+1/b-1/c​

 

[עריסטו]

הערה

לא מספיק להשתמש במחשב ולמצוא תשובה מספרית: אם, נניח, המחשב נותן את התשובה 77, זה לא מוכיח שערך הביטוי הוא בדיוק 77 - אולי הוא 77.000000000000000000000000000000000000000000001, ובגלל מגבלות דיוק של המחשב התשובה המתקבלת היא 77.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo45.gif מעולה../images/Emo70.gif (בפנים אין פתרון)

אבל אתה מטעה אותנו: שלושת התרגילים מסובכים/פשוטים במידה שווה. אם כי, בעצם, כל סידור שלהם יענה להגדרה שהם "מסודרים מהפשוט למסובך".

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo101.gif רמז

אם אף אחד לא יפתור, אכתוב מחר.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo101.gif הרמז

משפטי וייטה

 

[טלמון סילבר]

התכוונתי ../images/Emo26.gif

נוסחאות וייטה. ר' המשך.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo101.gif המשך הרמז.

אם a,b,c הם שורשי המשוואה הבאה:

Ax³ + Bx² + Cx + D = 0​

אזי נוסחאות וייטה אומרות ש:

a + b + c = - B/A ab + ac + bc = C/A abc = - D/A​

וזה מספיק לפתרון שלושת התרגילים.

למי שאינו מכיר את נוסחאות וייטה, אציג דוגמה נוספת - למשוואה ממעלה רביעית, ומכאן יהיה מובן המקרה הכללי, למשוואה ממעלה כלשהי, אותו אני פשוט מתעצל כרגע לכתוב. ובכן, אם a,b,c,d הם שורשי המשווה הבאה:

A(x^4) + Bx³ + Cx² + Dx + E = 0​

אזי נוסחאות וייטה אומרות ש:

a + b + c + d = - B/A ab + ac + ad + bc + bd + cd = C/A abc + abd + acd + bcd = - D/A abcd = E/A​

אגף שמאל של שורה מספר k הוא סכום כל המכפלות האפשריות של k שורשים שונים של המשוואה, ואפשר לסמן סכום זה כך: σ_k (כלומר, האות k היא אינדקס של סיגמא קטנה).

 

[ייץ]

פתרון בלי וייאטה

נרשום זהויות שנשתמש בהן sin(a)=cos(90-a) ==> sin70=cos20 sin(a)+sin(b)=2[cos((a-b)/2)sin((a+b)/2)] sin50+sin10=2cos20sin30=2*1/2*cos20=cos20 sin50+sin10-sin70=cos20-sin70=cos20-cos20=0 נשתמש בזהויות הבאות sin(a)=sin(180-a)==> sin70=sin110 sin(a)sin(b)=1/2[cos(a-b)-cos(a+b)] sin(a)cos(b)=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)] sin50sin10=1/2[cos40-cos60]=1/2cos40-1/4 sin50sin10sin70=1/2sin70cos40-1/4sin70= =1/4[sin110+sin30]-1/4sin70=1/4sin110-1/4sin70+1/8= =1/4sin70-1/4sin70+1/8=1/8 באותה דרך אפשר לפתור את התרגיל השלישי.​

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo62.gif פתרון עם וייטה

החוסך את כל הפיתוחים הטריגונומטריים חוץ מהבא:

sin(3x) = = sin(2x + x) = = sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x) = = 2sin(x)cos²(x) + (1 - 2sin²(x))sin(x) = = 2sin(x) - 2sin³(x) + sin(x) - 2sin³(x) = = 3sin(x) - 4sin³(x)​

נניח ש: sin(3x) = 1/2 ננסה למצוא את (t = sin(x

4t³ - 3t + 1/2 = 0​

כאשר מובן ששלושת הפתרונות הם בדיוק:

sin10° = a sin50° = b - sin70° = - c :מכאן a + b + c = - 0/4 = 0 ab - ac - bc = - 3/4 - abc = - (1/2) / 4 = - 1/8 abc = 1/8 - 1/c + 1/b + 1/a = (-3/4) / (-1/8) = 6​

 

[טלמון סילבר]

תיקון: a+b-c

 

[טלמון סילבר]

הערה

דרך אחרת פשוטה ומוכרה לחישוב הנוסחה לסינוס 3α.

cos(3α) + i sin(3α) = = [ cos(α) + i sin(α) ]³ sin(3α) = = 3 cos²(α)sin(α) - sin³(α) = = 3 sin(α) - 3 sin³(α) - sin³(α) = = 3 sin(α) - 4 sin³(α)​