קוסינוסים

[טלמון סילבר]

../images/Emo35.gif קוסינוסים

נתונים מספרים ממשיים:

0 < a[1] < a[2] < . . . < a[m]​

צריך להוכיח ש:

min { cos(a[1]x) + cos(a[2]x) + . . . + cos(a[m]x) } ≤ - 1 -∞<x<∞​

 

[pagis]

מה המשמעות של min ?

זה מינימום? ואם כן אז של מה? (כלומר מה זה מינימום של סכום)

 

[טלמון סילבר]

הסכום הנ"ל הוא פונקציה של x,

ואכן מדובר במינימום של פונקציה זו.

 

[pagis]

ואתה טוען שזה נכון לכל m ?

 

[טלמון סילבר]

אני גם טוען שזה נכון

לכל m טבעי, ולכל m מספרים ממשיים חיוביים שונים. יותר מזה: אני משער, שכאשר m שואף לאינסוף, המינימום של הפונקציה שואף למינוס אינסוף - אבל אינני יודע איך להוכיח את זה.

 

[pagis]

לא הבנו זה את זה

הכוונה שלי היא האם לטענתך זה נכון גם כש m לא שואף לאינסוף, נאמר m=1, כלומר האם לכל m ממשי שאבחר זה אמור להתקיים. אם m שואף לאינסוף זה כבר יותר פשוט.

 

[pagis]

אתה מוכן לכתוב במילים את החידה?

תודה

 

[טלמון סילבר]

עדין לא ברור?

נתונה הפונקציה הבאה:

f(x) = cos(a[1]x) + cos(a[2]x) + . . . + cos(a[m]x) :כאשר a[1], a[2], . . .,a[m]​

הם מספרים ממשיים חיוביים שונים, בסדר עולה:

0 < a[1] < a[2] < . . . < a[m] :למשל m = 4 a[1] = 2 a[2] = 5 a[3] = 7 a[4] = 8 f(x) = cos(2x) + cos(5x) + cos(7x) + cos(8x)​

צריך להוכיח, שהמינימום של הפונקציה הזו קטן או שווה מינוס אחד. עכשיו ברור?

 

[טלמון סילבר]

מי זה "אתם"? מי עוד לא הבין

חוץ ממך? הטענה נכונה, כמובן, גם כאשר m=1, כי קוסינוס π שווה בדיוק מינוס 1. עבור m גדול יותר זה לגמרי לא "יותר פשוט", גם כאשר m שואף לאינסוף, ובוודאי לא "יותר פשוט" להוכיח את השערתי הנוספת. אדרבה, אתה מוזמן להציג את ההוכחה שלך ה"יותר פשוט".

 

[pagis]

קודם כל

לא צריך להיות כזה אגרסיבי "מי עוד לא הבין חוץ ממך" אמרתי שלא הבנו זה את זה, כלומר התשובה שלך לא ענתה לשאלה שלי, כלומר "אתם" זה אני ואני, שלדעתי לא הבנו האחד את השני. הכוונה שלי במהו m היתה מה מספר האברים, לא מה הערך של האיבר האחרון. כלומר אם m=1 אז הוא בעצם יכל להיות כל מספר גדול מ 0 ואז הטענה אומרת שקוסינוס של כל מספר גדול מ 0 קטן שווה למינוס אחד. m, כמו שאני הבנתי, כנראה לא נכון, הוא אינדקס. הנחתי שהכוונה שלך (כלומר שהחידה) לא ממש ברורה לי ולכן שאלתי וניסיתי להבין כדי שאוכל לנסות לפתור אותה. חבל שאתה עונה לי בכזו נימה לא נחמדה. זו פעם ראשונה שלי כאן בפורום ואני לא יכל להגיד שאני מתרשם מהיחד האישי, פתרון חידות אמור להיות כיף, אם הבנת ממה שאמרתי על "פשוט" שאני מזלזל בך באיזושהי צורה אז אני יכל רק להתנצל (םשוט הדגשת את זה כל כך שזה גרם לי להרגיש שפגעתי בך או משהו). בכל מקרה סליחה אם הפרעתי לך לשאול את החידה שלך או לאחרים לענות עליה. ביי

 

[טלמון סילבר]

נסה להתייחס לפשט של דבריי,

ולא לחפש בהם משמעויות נסתרות. כתבת "לא הבנו" ברבים, אז שאלתי מי זה "אתם", בלי שום כוונות נסתרות, ובוודאי לא על מנת להעליב או להיעלב. ר' למעלה - ניסיתי שוב להסביר את תנאי החידה. m - זו כמות הקוסינוסים. זה כמובן מספר טבעי. כפי שכבר ציינתי, הוא גם יכול להיות שווה 1, כלומר, מדובר בקוסינוס אחד בלבד. [a[1 זה מספר ממשי חיובי כלשהו ("a הראשון"). [a[2 זה מספר ממשי כלשהו גדול מ-[a[1 (כלומר, זה "a השני") וכן הלאה, [a[m זה המספר הממשי האחרון, הגדול מכל קודמיו. אם m=1, הפונקציה היא פשוט קוסינוס אחד בלבד: (cos(ax כאשר x=π/a הפונקציה שווה מינוס 1, משמע המינימום שלה אינו גדול ממינוס 1, משמע, הטענה נכונה עבור m=1.

 

[ןן גיל ןן]

פתרון

ראשית, בכתב החידה צריך להיות רשום inf ולא min (למשל, אם m=2 והיחס a[2]/a[1]=q הוא אי-רציונלי אז האינפימום הוא 2- והוא לא מתקבל באף נקודה). תהי

f(x)=cos(a[1]x) + cos(a[2]x) + . . . + cos(a[m]x)​

ונתבונן בנקודות שבהן המחובר האחרון הוא 1-, כלומר בנקודות

x_k=(2 pi k + 1)/a[m], k=0,1,2,3,...​

נסמן גם

g(x)=cos(a[1]x)+cos(a[2]x)+...+cos(a[m-1]x)​

אז

f(x_k)=g(x_k)-1​

לכן נותר להוכיח, שלכל e חיובי קים k כך ש- g(x_k)<e. זה ינבע מהטענה הבאה: קים M כך שלכל k,

g(x_1)+g(x_2)+...+g(x_k) < M​

כי הרי אם עבור e חיובי, g(k)>e לכל k, נקבל בקלות סתירה לטענה זו. ואכן, הסכום g(x_1)+...+g(x_k הוא סכום של סכומים מהצורה

cos(x * ( pi ) / x[m]) + cos(x * (3pi)/x[m]) + cos(x * (5pi) / x[m]) + .. + cos(x * (2pi k + pi) / x[m])​

עבור i=1,2,..,m-1. וכל סכום כזה הוא חסום כי x/x[m]<1. זאת ע"פ הלמה הבאה: יהי a מספר בקטע (0,2pi) ו- b מספר כלשהוא. אז הסדרה

w_n=cos(b)+cos(a+b)+cos(2a+b)+..+cos(na+b) n=0,1,2,.....​

חסומה. כדי להוכיח את הלמה אפשר לחשב את הסכום הנ"ל במפורש או פשוט לשים לב שהוא החלק הממשי של הסכום הגיאומטרי

exp(ib)+exp(ia+ib)+..+exp(ina+ib)​

וסכום זה מהווה סידרה חסומה כפי שקל לוודא מנוסחת הסכום.

 

[ןן גיל ןן]

תיקון

x[k]=(2pi k + pi)/a[m]​

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo127.gif בדיוק בדרך הזו

גם אני הוכחתי את הטענה. אכן פספסתי עם המינימום - במקור, כפי שהציגו לי את הבעייה, [a[k הם מספרים טבעיים שונים, ושם יש מינימום. ולמעשה, צריך להוכיח שם, שהמינימום עוד יותר קטן - עבור m (כמות הקוסינוסים) גדול יותר.

 

[מספר6]

הוכחה אחרת + בקשר להשערה הנוספת

שככל שמגדילים את m, מגדילים את המינימום עד אינסוף: נגדיר מכפלה פנימית בין שתי פונקציות f, g: zz <f,g> = lim_{N→∞} (1/N) int_0^{2N} f(x)g(x)dx zz המכפלה מגדירה נורמה: zz ||f||^2 = <f,f> zz ביחס למכפלה זו, כל הפונקציות מהצורה zz cos(ax) zz הן בעלות נורמה 1, ואורתוגונליות זו לזו. מכאן נובע שהנורמה של סכום של m פונקציות כאלה היא שורש של m. טענה: אם הנורמה של f היא L, אז zz inf |f(x)| >= L/sqrt(2) zz. הוכחה: אם הנורמה של f היא L, אז יש N שבו (עבור epsilon קטן כרצוננו) zz int_0^{2N} f(x)^2dx > NL^2 + epsilon zz מכאן, שהערך הממוצע של f^2 בקטע zz [0,2N] zz הוא לפחות zz L^2/2 + epsilon zz. יש x שבו zz f(x)^2 >= L^2/2 + epsilon zz, ואז zz |f(x)| >= L/sqrt(2) + epsilon zz. מהטענה נובע שסכום הקוסינוסים מקבל ערכים גדולים או שווים בערך מוחלט ל-zz sqrt(m/2)-epsilon zz. נשאר רק להוציא מכלל אפשרות שהערכים הגבוהים האלה מתקבלים רק כערכים חיוביים. אני אדלג על השלב הזה (תרגיל למי שרוצה) ואגיע למסקנה הסופית: ההשערה של טלמון נכונה. כאשר m שואף לאינסוף, המינימום של הפונקציה גם כן שואף למינוס אינסוף.

 

[ןן גיל ןן]

זו לא הוכחה.

כל מה שהוכחת הוא שיש x-ים עבורם הערך של f(x) zz גדול מהשורש של m/2 בערכו המוחלט. אבל את זה אנחנו כבר יודעים מראש- הרי f(0)=m. לשלול את האפשרות הערכים הגבוהים של f בערך מוחלט מתקבלים רק בערכים החיוביים (מה שציינת כתרגיל) - זה בעצם מה שצריך להוכיח.

 

[מספר6]

לא רציתי להכנס לזה

כי כבר התחיל להיות ארוך מדי. למעשה, הוכחתי שיש אינסוף ערכים כאלה, והם מפוזרים במידה שווה על פני כל ציר המספרים. אפשר למשל לקחת ממוצע של f (במקום f^2) על פני קטע הולך וגדל לאינסוף, ולראות שהוא שואף לאפס. ואז להסיק שמשקלם של הערכים השליליים בממוצע של f^2 הוא מספיק גדול על מנת שגם שם יהיו ערכים גדולים בערך מוחלט.

 

[טלמון סילבר]

בוא נסתפק,

כפי שהציעו לי במקור, על מקדמים שלמים בלבד:

0 < a[1] < a[2] < . . . < a[m]​

מספרים שלמים. במקרה זה יש לפונקציה מחזור 2π. בנוגע לשאיפת המינימום למינוס אינסוף כאשר m שואף לאינסוף - זו לא ההשערה "שלי", אל של החבר שהציג לי את הבעייה.

 

[ןן גיל ןן]

מצטער, אבל עדיין לא השתכנעתי

זה לא קשה לבנות דוגמאות של פונקציות מחזוריות ורציפות, שהממוצע שלהן על פני קטע הולך וגדל לאינסוף שואף לאפס, שהערך המקסימלי שלהן גדול כרצוננו (גדול מ- M נתון, או אפילו שואף לאינסוף), אבל כל ערכי הפונקציה גדולים מ- 0.01-.