סכום ריבועים

[1אברהם]

../images/Emo35.gif סכום ריבועים

מה הסכום של הטור הבא כפונקציה של n בלבד

1² + 2² + 3² + 4² + ...... + n² = ?​

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo12.gif

 

[1אברהם]

../images/Emo12.gif

מה מדהים פה ?

 

[יאיר של תמר]

אני מניח שאתה מתכוון..../images/Emo62.gif

"הסכום כפונקציה של מספר מחוברים שאינו תלוי ב-n..".. ואז : n(n+1)(2n+1)/6 zzz

 

[Renatius Cartesius]

איך עשית את זה +המשך..

zzz 1^3+2^3+3^3+4^3+...+n^3=? zzz

 

[טלמון סילבר]

למי שלא מכיר -

1³ + 2³ + 3³ + . . . + n³ = (1 + 2 + 3 + . . . + n)²​

 

[Renatius Cartesius]

קיימת עוד שיטה...

ידוע שלסכומים של חזקות (זה לא מדוייק לומר זאת) קיימת תבנית של פולינום. חזקה n-ית אז הפולינום הוא ממעלה ה-n+1. הדוגמא הפשוטה: zzz 1+2+3+...+n zzz S=An^2+Bn על מנת למצוא את המקדמים A ו-B יש לפתור שתי משוואות.. zz A+B=1 zz 4A+2B=3 התשובה כמובן: A=B=1\2

 

[טלמון סילבר]

איך מוכיחים את ה"ידוע"

(שקיימת תבנית של פולינום ממעלה n+1)?

 

[Renatius Cartesius]

כן... זאת שאלה מצויינת...

יש לך בטח גם תשובה...

 

[Renatius Cartesius]

רוצה לומר...

שהייתי שמח מאוד לקבל את התשובה.

 

[טלמון סילבר]

אני יודע? למשל

באמצעות אינדוקציה על החזקות, כמו שתיארנו כאן: http://www.tapuz.co.il/tapuzforum/main/Viewmsg.asp?forum=631&msgid=93711422 http://www.tapuz.co.il/tapuzforum/main/Viewmsg.asp?forum=631&msgid=93712110 כלומר, במקום ללכת בשיטה זו עד הסוף עבור כל חזקה מסוימת, נסתפק בעצם העובדה שהתוצאה מהווה פולינום בחזקה מסוימת, ולחישוב מקדמיו נשתמש בשיטה שלך, עם ון-דר-מונד.

 

[גיל14]

הוכחה קונסטרוקטיבית

http://www.tapuz.co.il/tapuzforum/main/Viewmsg.asp?forum=631&msgid=93711670

 

[Renatius Cartesius]

תודה רבה לשניכם!

 

[ףרמיוםFm]

אני לא הוא, אבל בכל זאת

בקובץ מצורף (עשה לי בעיות לכתוב את זה כאן)

 

[m e w]

סליחה על הבורות

אבל איך אני מגיעה לזה?

 

[טלמון סילבר]

דרך אפשרית -

כותבים:

2³ = (1 + 1)³ = 1³ + 3*1² + 3*1 + 1 3³ = (2 + 1)³ = 1³ + 3*2² + 3*2 + 1 4³ = (3 + 1)³ = 1³ + 3*3² + 3*3 + 1 . . . (n+1)³ = (n + 1)³ = 1³ + 3*n² + 3*n + 1​

מסכמים לחוד את אגף ימין ואת אגף שמאל. חזקות 3 מצטמצמות. מבודדים את סכום חזקות 2. מפשטים את הביטוי. אח"כ אפשר בדרך דומה למצוא את סכום החזקות השלישיות, באמצעות החזקות הרביעיות, וכו'.

 

[טלמון סילבר]

תיקון הטעות:

2³ = (1 + 1)³ = 1³ + 3*1² + 3*1 + 1 3³ = (2 + 1)³ = 2³ + 3*2² + 3*2 + 1 4³ = (3 + 1)³ = 3³ + 3*3² + 3*3 + 1 . . . (n+1)³ = (n + 1)³ = n³ + 3*n² + 3*n + 1​

 

[m e w]

../images/Emo51.gif

 

[1אברהם]

../images/Emo127.gif