ועוד הסבר../images/Emo27.gif
הנה הסבר שלא דורש ידע גיאומטרי מתוחכם במיוחד, לדעתי: קודם כל, נזכור שפאונים משוכללים הם פאונים קמורים המורכבים כ"א ממצולעים משוכללים זהים. כדי ליצור פינה של גוף מרחבי תלת מימדי קמור צריכים להתקיים התנאים הבאים:
לפחות 3 מצולעים יוצרים אותה (לפחות שלושה קודקודים של שלושה מצולעים המחוברים זה לזה לאורך הצלעות צריכים להיפגש בנקודה אחת);
סכום הזוויות שליד קודקודי המצולעים הנפרדים המתחברות לאותה פינה צריך להיות קטן מ - 360 מעלות. לכן, האפשרויות היחידות להשתמש במצולעים משוכללים זהים וליצור פאונים קמורים הן:
3 משולשים שווי צלעות - סכום הזוויות 180 מעלות
4 מש"צ - סכום הזוויות עדיין קטן מ - 360 מעלות
5 מש"צ - כנ"ל (6 משולשים שווי צלעות, המחוברים בצלעותיהם, נמצאים במישור אחד - 360 מעלות, ולפיכך, זו אינה פינה, ולגבי מספר גדול יותר של מש"צ - הסכום יהיה גדול ממש מ - 360 מעלות)
3 ריבועים (סכום הזוויות כאן הוא 270 מעלות, וארבעה ריבועים יוצרים משטח ולא מרחב, כי סכום הזוויות הוא כבר 360 מעלות בדיוק)
3 מחומשים משוכללים (עדיין פחות מ - 360 מעלות. סכום הזוויות במספר גדול יותר של מחומשים משוכללים יהיה גדול מ - 360 מעלות). הערה נוספת: 3 משושים משוכללים מחוברים יצרו משטח, וסכום זוויות של כל שלושה מצולעים משוכללים בעל מספר צלעות רב מזה יהיה גבוה מ - 360 מעלות. משלושה משובעים/ מתומנים משוכללים וכו' כבר אי אפשר ליצור פינה. אז נשארו לנו חמש אפשרויות בסה"כ:
3 מש"צ לכל פינה - ארבעון (טטרהדרון)
4 מש"צ לכל פינה - תמניון (אוקטהדרון)
5 מש"צ לכל פינה - עשרימון (איקוסהדרון)
3 ריבועים לכל פינה - קובייה
3 מחומשים משוכללים לכל פינה - תריסרון (דודקהדרון)
