חידה

[בואו ונדליק ביחד נר]

../images/Emo162.gifחידה../images/Emo162.gif

נמלה הולכת על גומי באורך 100 מטר בקצב של מטר לדקה. כל פעם שהיא עוברת מטר, מותחים את הגומי בעוד 100 מטר, כך שמיקומה של הנמלה משתנה (למשל: אם הנמלה ממוקמת 4 מטרים מתחילת גומי אורכו 200 מטרים, אז כשימתחו את הגומי אורכו יהיה 300 מטרים והנמלה תהיה ממוקמת 6 מטרים מתחילתו). האם תגיע הנמלה אי פעם לקצה הגומי

אם כן, מתי

תשובות מפורטות ומנומקות..

 

[yair24]

לדעתי תוך 100 דקות...

כי מיקום הנמלה ביחס לאורך החבל נשאר פרופורציוני כל הזמן, אז לא משנה כמה מתחו את החבל הנמלה מתקדמת עם מתיחתו ובנוסף היא מתקדמת באמת מטר אחד כל דקה... יאיר

 

[yishay K4School]

אבל,

אם מתחו את החבל, אז לאחר הפעם הראשונה, עברה מטר ונשאר 99. עכשו מותחים, ויש לה עוד 198, בפעם השנייה, עוברת רק מטר מתוך 198 ולא מתוך 99, כלומר נותר לה עוד 197 פעמים את הזמן שעברה. כך הלאה, לכאורה נראה שרק מתרחקת מהסוף (אילו היה הגיוני שניתן למתוח ללא הפסקה) אני לא יודע את התשובה, רק מנסה לפתור יחד...

 

[אלדד26]

תשובה לחידה..

לא, הנמלה לא תגיע לעולם לקצה. יש פה שתי פונקציות שצריך לבדוק אם הן מתאחדות באיזשהו שלב:

ropeSize(iteration) = ropeSize(iteration-1)+100 (ropeSize(0)= 100) antDistance(iteration) = (antDistance(iteration-1)+1) * (ropeSize(iteration-1)/ropeSize(iteration))​

ברור לעין ששתי הפונקציות הן לא פונקציות אקספוננציאליות אלא ליניאריות. אפשר לחשב את השיפוע שלהן - הפונקציה של אורך החבל עולה באופן קבוע ב - 100 מטר לאיטרציה. הפונקציה של הנמלה עולה בשיפוע ששואף לאפס, כי היא מוכפלת בגודל החבל שלפני איטרציה אחת חלקי גודל החבל הנוכחי - שההפרש ביניהם הוא 100. אז נכון שיש לזה משמעות גדולה כשהאורך משתנה מ - 100 ל - 200, אבל המשמעות של זה הולכת ופוחתת כל הזמן - ובקיצור, הפונקציה שואפת לשיפוע אפס (יש לה גבול עליון, כשלפונקציה הראשונה אין!). לסיכום, לא. הנמלה המסכנה לא תגיע בחיים לקצה, אלא אם יבוא מישהו ויבעט אותה קדימה.

 

[yair24]

שאלה:

חסם עליון זה אומר שאני יכול לצייר קו שחוסם את הפונקציה מלמעלה נכון? ציר ה X פה הוא הזמן וציר הY הוא המרחק שהנמלה נמצאת בו... בכל דקה הנמלה מתקדמת מטר אחד קדימה פלוס איזשהו מרחק שהולך וקטן כל הזמן... אז איך אתה מצייר את הקו הזה? הרי הפונקציה בכל זאת אף פעם לא יורדת מהתקדמות של 1 לא? יאיר

 

[אלדד26]

כן, בעצם אתה צודק -

נכון. מה ששואף לאפס זה הטרנספורמציה הליניארית של המיקום של הנמלה אחרי מתיחת החבל. זה שואף לאפס - אבל בכל זאת יש התקדמות אינסופית של מטר אחד כל הזמן. שכחתי את זה לרגע. למרות זאת, אין שינוי בתשובה, כי פונקציה שמתקדמת ב - 100 מטר לאיטרציה בוודאי שמהווה חסם עליון ממשי (שאי אפשר להגיע אליו) על ידי פונקציה שמתקדמת במטר אחד לאיטרציה.

 

[אלדד26]

כן, בעצם אתה צודק -

נכון. מה ששואף לאפס זה הטרנספורמציה הליניארית של המיקום של הנמלה אחרי מתיחת החבל. זה שואף לאפס - אבל בכל זאת יש התקדמות אינסופית של מטר אחד כל הזמן. שכחתי את זה לרגע. למרות זאת, אין שינוי בתשובה, כי פונקציה שמתקדמת ב - 100 מטר לאיטרציה בוודאי שמהווה חסם עליון ממשי (שאי אפשר להגיע אליו) על ידי פונקציה שמתקדמת במטר אחד לאיטרציה.

 

[yair24]

שאלה:

חסם עליון זה אומר שאני יכול לצייר קו שחוסם את הפונקציה מלמעלה נכון? ציר ה X פה הוא הזמן וציר הY הוא המרחק שהנמלה נמצאת בו... בכל דקה הנמלה מתקדמת מטר אחד קדימה פלוס איזשהו מרחק שהולך וקטן כל הזמן... אז איך אתה מצייר את הקו הזה? הרי הפונקציה בכל זאת אף פעם לא יורדת מהתקדמות של 1 לא? יאיר

 

[yair24]

הנה תוכנית שמנסה לבדוק מה קורה...

אני מניח שהנמלה מוזזת כל פעם ביחס מתיחת החבל כלומר אם החבל עכשיו באורך 1000 ומותחים אותו ל1100 אז הנמלה זזה למרחק שהוא המרחק הנוכחי שלה כפול 1100 חלקי 1000. תתקן אותי אם הנחה זו מוטעית. יאיר

 

[yair24]

לפי התוכנית הנמלה לא מגיעה אף פעם..

 

[אלדד26]

מן הסתם...

אבל תוכנית מחשב היא לא הוכחה מתימטית

 

[yair24]

צודק.. אבל אני והוכחות

כדוגמת ההוכחה שנתת כאן זה שמים וארץ... יאיר

 

[אלדד26]

עזוב אותך משטויות

רק צריך להיפתח קצת למתימטיקה. זה לא כזה מסובך. גם אני חשבתי כמוך פעם, תאמין לי

 

[Scott]

ברור שהנמלה תגיע לסוף הגומי

(וגם לסוף העולם) פשוט כי הגומי יקרע!

Scott

 

[אלדד26]

זה לא טוב, אם הגומי נקרע.

אפילו לא לנמלה

 

[D.G OD]

למה לא?! אולי היא רוצה לעוף?

הרי התרנגולות כבר עפו, אז אולי היא מרגישה מקופחת וגם היא רוצה לעוף?

 

[בואו ונדליק ביחד נר]

נו...לא בא לכם לחשוב קצת../images/Emo35.gif

 

[בואו ונדליק ביחד נר]

טוב יאללה..נתתי לכם מספיק זמן.פתרון

הנה פתרון החידה בקובץ וורד מצורף --> אני מציע לכולם להסתכל בפתרון כי לומדים ממנו הרבה..

חשבתי שיש פה אנשים שמבינים קצת יותר במתמטיקה

קחו הכל ברוח טובה שמו

יק

 

[בואו ונדליק ביחד נר]

-->

מה שמוזר פה שאפילו את החידה של איינשטיין שנתן פה מישהו (שאמר שרק 2% מאוכלוסית העולם מסוגלת לפתור אותה) פתרו, ואת החידה הדי-פשוטה שהצגתי (פשוטה=אם מבינים את העיקרון שלה) לא פתרתם....

 

[micmuk]

לא שמת לב...

כבר אמרו את התשובה קודם... כי לפי הפתרון הזה היא בטח תמות (מישהו ידרך עליה כאילו דא) לפני שיעברו כל כך הרבה שנים!!! בקיצור - היא לעולם לא תגיע לסוף

מיק