פינה שבועית, מתמטיקה. לינארית 1

[yaakii]

../images/Emo133.gif פינה שבועית, מתמטיקה. לינארית 1

ברוכים הבאים לפינה החדשה-פינת מתמטיקה. הפינה היא בנושא מתמטיקה-לינארית, לפחות בזמן הקרוב. אולי בהשמך אעסוק גם בנושאי מתמטיקהכללים. שיעור 1- הכרות עם מטריצות ערך מטריצה בויקיפדיה -להגדרות בסיסיות. (לפעמים השתמשתי בספרות במקום בסימנים כמו מינוס וסוגריים בגלל בעיות סדר).

פעולות עם מטריצות-NXN (מספר עמודות שווה למספר השורות)

חיבור: נגדיר: מטריצה A: a1 a2 a3 a4 ומטריצה B: b1 b2 b3 b4 אז: A+B= a1+b1 a2+b2 a3+b3 a4+b4 *חלים: -קומוטטיביות: A+B=B+A -אסוציטיביות: A+0B+C0 (-במקום סוגריים השתמשתי באפסים) -אבר נטרלי: 0 = 0 0 0 0 (מטריצת אפסים) -אבר סמטרי: A-= 9a1 9a2 9a3 9a4 (-במקום מינוס (-) השתמשתי ב-9). דוגמא: A= 1 2 3 4 B= 1 2 5 7 A+B= 4 2 8 11

כפל: נגדיר: A= a1 a2 a3 a4 B= b1 b2 b3 b4 אז: A+B= a1b1+a2b3 a1b2+a2b4 a3b1+a4b3 a3b2+a4b4 *מתקיים: -לא קומוטטבית: A*B != B*A -אסוציטיבית A*0B*C0=0A*B0*C (השתמשתי ב-0 במקום סוגריים). -אבר נטרלי: E= 0 1 1 0 -אבר סמטרי: A^-1 (אבר סמטרי), מקיים: A*A^-1=A-1*A=E דוגמא: A= 3 1 4 1- B= 0 2 5 1 A*B= 15 5 20 2

לאחר הגדרת חיבור וכפל מוגדרות מאליהן חיסור וחילוק |תרלתן|בדוגמאות עסקנו במטריצת 2X2. כפל וחילוק פועלים באותו העיקרון בכל מטריצת NXN. כאשר הכלל לכפל הוא: בכל אחד מ-N המקומות במטריצה החדשה יהיה: הכפלה של אברי השורה במטריצה הראשונה- בשורה המדוברת, לאברי הטור במטריצה השנייה בטור המדובר. (לשם הבנת הכלל המסורבל עקבו בקוראכם אותו, אחרי ההגדרה הכללית להכפלת מטריצת 2X2 כפול מטריצת 2X2. ראו למעלה). ש.ב.

1. נגדיר: A= 0 2 5 1 B= 3 1 4 -1 A*B=? 2. למבינים.. נגדיר: A= 1 3 1 1- 0 0 2 1- 2 B= 1 1 2 0 1- 1 1 3 0 A*B=? מקווה שלא חירבשתי ושהבנתם משהו.. אני כאן להערות ושאלות

 

[yaakii]

בדוגמא המספרית שהבאתי לחיבור יש להחליף

במטריצת התוצאה בין ה-2ל-4..

 

[yaakii]

בקשר לאיבר הסמטרי בפעולת הכפל:

אני כתבתי: A*A^-1=A-1*A=E הנכון הוא: A*A^-1=A^-1*A=E

 

[yaakii]

הבהרות נוספות..

*E כפי שכתבתי היא האיבר הנטרלי. למי שלא יודע, האיבר הנטרלי אומר: האיבר שאם תבצע בו את הפעולה על אבר X, X לא ישתנה. *תוכלו גם לבדוק ולהכפיל(ראו כללי הכפלה במטריצה), לגוגמא את המטריצה: 9 8 6 7 במטריצה E ותראו שתקבלו את אותה המטריצה.. *בהמשך נלמד איך לגלות את A^-1

 

[tweeg]

נראה לי הבנתי

1. A*B=? 8 -2 19 4 2. נגדיר:A*B=? 2 2 5 -1 -1 -2 4 9 3 לכל פעולה חשבונית יש איבר נטרלי ואיבר סימטרי כשאיבר נטרלי לא משנה את המיטרציה,וסימטרי נותן לך כלל מסוים/הופך סימנים של המטריציה? לא הבנתי מה הכלל עושה,וגם לא נראה לי את האיבר הסימטרי לא הבנתי את זה גם:A*B != B*A הסימן קריאה זה עצרת?ואם לא אז מה זה? לא נראה לי הגיוני שהכלל זה פשוט "הסדר בפעולת כפל לא משנה" כי זה כלל יסוד במת' אני אישית אהבתי את הפינה,כי זה מתקשר לי לבוליאנית זה קצת מסובך להבין ככה,אבל אפשרי ואני בטוח שזה מעצבן לכתוב את זה,עשיתי 2x2 ו3x3 וזה עיצבן תודה על המ(י)דע

 

[yaakii]

כן כתיבת המטירצות במחשב זה באמת מעצבן..

כמה הבהרות: 1. "לכל פעולה חשבונית יש איבר נטרלי ואיבר סמטרי"-נכון

"איבר נטרלי לא משנה את המטריצה"-נכון

(כמובן, יש לדייק בניסוח:הפעלת הפעולה החשבונית בין האבר הנטרלי לאיבר אחר תביאי לתוצאת האיבר האחר). האיבר הסמטרי הוא איבר שאיננו קבוע: אם נתון לנו אבר X ואנו רוצים לבצע בינו לבין מטריצה Y את הפעולה ולקבל את האיבר הנטרלי- Y יהיה האיבר הסמטרי. =! זה : "לא שווה" בבוליאנית. לא הבנתי מה אמרת לגבי כלל הכפל במתמטיקה.. מה שכן: פעולת הכפל בין מטריצות איננה קומוטטיביתפרוש: A*B!=B*A (תוכל גם לראות זאת: השתמשתי באותן מטריצות בדוגמא שהבאתי ובתרגיל שהבאתי-רק בסדר שונה, והתוצאה שונה..) לגבי השאלות שנתתי: 1. התשובה היא: 6 2 23 -4 אינני יודע ממה נבעה טעותך..בדוק באיזו נקודה בדיוק... הבט בכלל הכפל : נגדיר: A= a1 a2 a3 a4 B= b1 b2 b3 b4 אז: A+B= a1b1+a2b3 a1b2+a2b4 a3b1+a4b3 a3b2+a4b4 לגבי 2. : בדומה לכלל לגבי מטריצת 2X2, אנסח הכלל למטריצת 3X3: נגדיר : A= a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 B= b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 אז: A*B= a1b1+a2b4+a3b7 a1b2+a2b5+a3b8 a1b3+a2b6+a3b9 a4b1+a5ba+a6b7 a4b2+a5b5+a6b8 a4b3+a5b6+a6b9 a7b1+a8b4+a9b7 a7b2+a8b5+a9b8 a7b3+a8b6+a9b9 אנסחה לנתח את מהלך התוצאה על איבר X במטריצת 3X3: אם נניח שהמטריצה 3X3 הבאה, היא מטריצת תוצאה (מכפלה) (כל אחד מסמני השאלה זהו איבר במטריצה, וה- אל"ף עד ו"ו הם מצייני שורות ועמודות) של כפולת מטריצות, א' ב' ג' ? ? ? ד' ? X ? ה' ? ? ? ו' אז בכדי לגלות את X (שנמצא בטור ב בשורה ה), עלינו:

לקחת את האבר הראשון בשורה ה' במטריצת ההכפלה הראשונה(=בגורם הראשון) ולהכפילו באיבר הראשון בטור ב' במטריצת ההכפלה השנייה(=בגורם השני).

לקחת את האבר השני בשורה ה' במטריצת ההכפלה הראשונה(=בגורם הראשון) ולהכפילו באיבר השני בטור ב' במטריצת ההכפלה השנייה(=בגורם השני).

לקחת את האבר השלישי בשורה ה' במטריצת ההכפלה הראשונה(=בגורם הראשון) ולהכפילו באיבר השלישי בטור ב' במטריצת ההכפלה השנייה(=בגורם השני). לחבר את סכום 3 המכפלות הנ"ל וזה=X. אם עדיין יש שאלות אני כאן. בכיף

זו גם חזרה טובה עבורי למבחן המתקרב..

 

[tweeg]

אבל אבל....

A= 0 2 5 1 B= 3 1 4 -1 אני בהתחלה עושה 0x3+2x4=8 לי זה נראה נכון,אצלך זה יצא 2 מעתיק את החישוב: a1b1+a2b3 איך זה 2? אותו דבר לגבי כל השאר "האיבר הסמטרי הוא איבר שאיננו קבוע: אם נתון לנו אבר X ואנו רוצים לבצע בינו לבין מטריצה Y את הפעולה ולקבל את האיבר הנטרלי- Y יהיה האיבר הסמטרי." איבר סימטרי:איבר שמצבעים איתו פעולה על איבר x כדי לקבל את האיבר הנטרלי? אה,זה אומר לא שווה,עכשיו זה הגיוני אם אני מכפיל שורה שלמה בגורם מעל מה שאני רוצה לגלות ומחבר את התוצאות יש לי את המספר האמצעי בשורה?

 

[yaakii]

בעיה עקרונית:

מבנה המטריצה הוא כזה: a1 a2 a3 a4 האיבר הראשון הוא השמאלי. בקשר למקום בו אתה אומר שצריך להיות 8, החישוב צריך להיות כזה: 2X3+0X4 .. החלפת.. *אנסה לנסח כלל כללי, מה שפחות מסובל לגבי הכפלת מטריצות NXN (הכפלת מטריצה NXN במטריצת NXN אחרת והתוצאה: NXN): אם תרצה לגלות מה יהיה באיבר X במטריצת התוצאה, כאשר האיבר ממוקם בשורה Y ובטור Z עליך: לחבר את התוצאות הבאות:

האיבר הראשון בשורה Y במטריצה הראשונה כפול האיבר הראשון בטור Z במטריצה השנייה

האיבר השני בשורה Y במטריצה הראשונה כפול האיבר השני בטור Z במטריצה השנייה

האיבר השלישי בשורה Y במטריצה הראשונה כפול האיבר השלישי בטור Z במטריצה השנייה . . .

האיבר ה-n בשורה Y במטריצה הראשונה כפול האיבר ה-n בטור Z במטריצה השנייה (שים לב להתאמה: ראשון מכפיל בראשון, שני מכפיל בשני.....n מכפיל ב-n). רק שזה שורה בטור... (השורה-לפי שורת X והטור-לפי טור X)..

 

[tweeg]

אבל שני

האיבר הראשון הוא השמאלי,ואתה מתחיל את החישוב שלך מימין עשיתי בדיוק מה שאמרת,והלכתי גם לפי החישוב שלך של הa,b או שאתה מחשב הפוך או שההסברים שלך הפוכים

 

[yaakii]

../images/Emo173.gif

השאלה הייתה הכפלת שתי המטריצות, כך: 3 1

0 2

X 4 1-

5 1 (

התעלם מהפרחים ומהכוכבים-זה רק למטר הסדר: אחרת לא היו נשמרים הרווחים הרצויים..) בדוק עכשיו את כלל הכפל: a1b1+a2b3 a1b2+a2b4 a3b1+a4b3 a3b2+a4b4 (ואל תשכח: A*B!=B*A)

 

[yaakii]

*סימן הכפל (X)צריך להיות בין 2 המטריצות,כמובן

-זה זז טיפה ימינה..

 

[tweeg]

אבל שלישי

עכשיו ערבבת את שתי המטריצות,זה לא אותו דבר עכשיו

 

[yaakii]

זה מה שרשמתי גם בהודעת השירשור הראשונה-

אתה מכפיל מטריצה במטריצה , אז כדי לגלות מהי המטריצה השלישית (התוצאה)עליך לעשות כפי מה שכתבתי..

 

[tweeg]

אז

קודם אני מסדר את שתי הגורמים המוכפלים ככה שהשורות יהיו אחד מול השני ואז אני מפעיל את הכלל?

 

[yaakii]

../images/Emo45.gif../images/Emo13.gif