HINT...

[white shadow 3]

HINT...

הי,
קיבלנו להוכיח שאם עבור כל a,b ממשיים וחיובים מתקיים a(a+1)<=(b+1)^2 אזי חייב להתקיים גם
a(a-1)<=b^2
ניסיתי לשחק עם המשתנים / החלפות / וכו' אבל לא ממש הצלחתי להגיע לתוצאה הזאת.

תודה!

 

[ןן גיל ןן]

רמז

הוכח זאת תחילה כאשר מתקיים שוויון: a(a+1)=(b+1)^2

 

[white shadow 3]

הבעיה היא

שאני לא 100% בטוח שאני מבין מאיפה אני צריך להתחיל את החשיבה...
האם אני צריך לקחת את הביטוי שנתון שהוא מתקיים ולנסות לפתח/לפתוח אותו עד שאני מגיע לביטוי השני,
או שבגלל שנתון שהביטוי הראשון מתקיים תחת אילוץ מסויים אז לחפש את איזשהוא ביטוי שיכיל לי את התנאי שעבורו הוא מתקיים,
או שאני צריך להתחיל מהביטוי השני ואז להגיע לביטוי שמכיל בתוכו (איכשהא) את הביטוי/חלק מהביטוי הראשון ובגלל שהוא נתון כמתקיים אז להציב/להסיק משם משהו?

 

[iMeTaVDR]

רמז:

לכל a ו-b מספרים ממשיים תמיד מתקיימת אחת מהאפשרויות הבאות:
a=b+1/2
a<b+1/2
a>b+1/2

 

[aaa123]

צריך להגיע למשתנה אחד.

שלב 1:מההנחה אפשר להוציא שורש ל2 האגפים ולשמור על אי השויון כי שני הביטויים חיובים ומכאן אפשר להגיע ש-b גדול או שווה לפונקציה כלשהי של a.
&nbsp
שלב 2:נפרק כעת ל2 מקרים:
&nbsp
מקרה א:a<1
ברור שאי השויון השני מתקיים כי ריבוע שהוא חיובי תמיד גדול ממספר שלילי(מכפלה של חיובי בשלילי זה שלילי) כך שהוכחנו את המבוקש.
מקרה ב:a>=1.
קל לוודא שהפונקציה של a שקיבלנו בשלב 1 מקבלת ערך חיובי,ונעבור לשלב 3
&nbsp
שלב 3: נציב את הפונקציה שקיבלנו בשלב 1 באי שויון השני במקום b ונוודא שהתנאי מתקיים(אם b גדול ממש מהפונקציה שמקבלת ערך חיובי אז גם הריבוע שלו גדול יותר מריבוע הפונקציה ועל אחת כמה וכמה שאי השויון מתקיים).
&nbsp
בשלב 3 אנו יכולים להשתמש בעובדה ששורש של מכפלת מספרים עוקבים קטן מהממוצע החשבוני שלהם.

 

[white shadow 3]

הי

תודה.

 

[הפרבולה]

הוכחה

a*(a+1)<=(b+1)^2
sqrt[ a*(a+1) ]<=b+1
sqrt[ a*(a+1) ] -1 <=b
a*(a+1) -2*sqrt[ a(a+1) ] +1 <=b^2
אי שוויון הממוצעים
sqrt[ a(a+1) ] < a+1/2
לכן
a*(a+1) -2*(a+1/2) +1 < a*(a+1) -2*sqrt[ a(a+1) ] +1 <=b^2
a*(a+1) -2*(a+1/2) +1 < b^2
a^2 +a -2*a -1 + 1 < b^2
a^2-a < b^2
a*(a-1) <b^2
מ.ש.ל.

 

[white shadow 3]

תודה רבה לכולם