e^(i*Pi)

[eug]

e^(i*Pi)

חישבו:

e^(i*Pi)​

 

[טלמון סילבר]

מה יש פה לחשב?

:פשוט מציבים בנוסחה e^(iα) = cos(α) + i sin(α) e^(iπ) = cos(π) + i sin(π) = - 1​

 

[eug]

../images/Emo4.gif זה באמת קל..

..עם הנוסחה הזאת. כמעט כל מי שאלתי הכיר אותה, ואני לא.

אני מכיר דרך ארוכה יותר לפתור את זה, שבעצם מוכיחה את הנוסחה.

 

[עריסטו]

אם כוונתך לטורי מקלורין/טיילור

זו לא הוכחה. אי אפשר "להוכיח" ש - e^(i*pi) שווה למשהו לפני שמגדירים מהי חזקה כאשר המעריך מדומה.

 

[eug]

../images/Emo26.gif

אני חשבתי שטור זה מוגדר על מספרים מרוכבים, אבל אני מרגיש שקצת חסר השכלה בנושא.

 

[עריסטו]

לא אמרתי שלא

ודאי שניתן להגדיר את הטור למספרים מרוכבים. רק אמרתי שאי אפשר להוכיח ש - e בחזקת מספר מדומה שווה למשהו לפני שהוגדר מהי העלאה בחזקת מספר מדומה. יש שתי אפשרויות: ניתן לומר שטור מקלורין ל - e בחזקת x מגדיר פונקציה זו עבור x מרוכב, ואז באמת מתקבלת הוכחה לנוסחת אוילר; לחלופין ניתן לומר שנוסחת אוילר היא ההגדרה של אקספוננט של מספר מדומה, וטורי מקלורין רק מראים שהגדרה זו עקבית.

 

[טלמון סילבר]

גם אני הלכתי בילדותי בדרך שלך

ו"גיליתי" שהצבת x=i בטור טיילור של e^x "נותנת" (cos(1) + i sin(1, ואח"כ, כשהיגענו למרוכבים, הייתי מבסוט ש"זה נכון".