4 צפרדעים

[ףרמיוםFm]

4 צפרדעים

נמצאות על 4 קודקודיו של ריבוע שצלעו 1 מטר כל צפרדע יכולה לקפוץ מעל לצפרדע אחרת, כך שהיא שומרת על מרחקה ממנה (מצדה השני) האם הצפרדעים יכולות לבצע סדרת קפיצות, כך שבסופה הן יעמדו על קודקודי ריבוע שצלעו 2 מטר?

 

[מספר6]

../images/Emo62.gif

לא. אפשר להניח שהמישור הוא לוח שחמט אינסופי ושהעמדה ההתחלתית של הצפרדעים היא על מרכזי 4 משבצות סמוכות. אם שתי צפרדעים עומדות במרכזים של שתי משבצות, ואחת מהן קופצת מעל האחרת, היא תמיד תנחת בדיוק במרכזה של משבצת אחרת מאותו צבע. מכיוון שהעמדה ההתחלתית היא שתי משבצות לבנות ושתיים שחורות, בכל עמדה אחרת שאפשר להגיע אליה, יהיו שתי משבצות לבנות ושתים שחורות. אבל כדי לצייר ריבוע 2x2 על לוח שחמט חייבים 4 משבצות מאותו צבע. לכן הצפרדעים לעולם לא יוכלו להסתדר בריבוע 2x2. (האם זה רק אני, או שמרוב חידות שחמט, כבר כל חידה נראית כמו חידת שחמט?)

 

[ףרמיוםFm]

../images/Emo127.gif + דרכים נחמדות נוספות (בערך)

כל הדרכים הן על אותו עיקרון, אבל בכל זאת: - ניתן לקחת מקרה כללי של 4 נקודות, "להקפיץ" אחת מהן מעל האחרת, ולראות ששטח המרובע שהנקודות הן קודקודיו נשמר, ולכן השטח תמיד ישמר - מכיוון שהמערכת היא סקלבילית ודו כיוונית (אם ניתן להגיע ממצב א' למצב ב', אזי בסדרה הפוכה של מהלכים, ניתן להגיע ממצב ב' למצב א'), אם ניתן להגדיל את הריבוע פי 2, ניתן גם להקטין אותו פי 2 ברור שלא ניתן להקטין אותו פי 2 (אפשר לסדר את הצפרדעים על רשת, ב-4 הצטלבויות סמוכות (בצורת ריבוע, כמובן), והן תמיד ישארו על ההצטלבויות ברשת), ולכן גם אי אפשר להגדילה פי 2

 

[עריסטו]

../images/Emo207.gif שלוש צפרדעים

A, B ו - C עומדות על שלוש נקודות (לא על קו ישר). כל צפרדע יכולה לקפוץ מעל לקטע הישר המחבר את שתי הצפרדעים האחרות ולנחות מצידו השני. האם ייתכן שלאחר 1001 קפיצות כל צפרדע תחזור למקומה ההתחלתי?

 

[The Monopoly Guy]

../images/Emo62.gif

לא: *אם נקפיץ כל הזמן רק צפרדע אחת, ידרש לה מספר זוגי של קפיצות כדי לחזור למקומה כל פעם לאחר שקפצה פעם אחת, -1001 אינו מספר זוגי. *אם נקפיץ רק שתיים מהצפרדעים ניצור מצב בו שני פרטים נמצאים בתזוזה וכמו שאמרנו צפרדע בודדה חייבת לבצע מספר זוגי של קפיצות כדי לחזור למקומה המקורי, ולא ניתן להרכיב מספר אי זוגי כ-1001 משני מספרים זוגיים. *כנ"ל לגבי שלוש צפרדעים.

 

[The Monopoly Guy]

עוד משהו שאני צריך להוסיף לפתרון

גם אם אחר מספר קפיצות נגיע למצב בו שוחזר המצב המקורי, לא יהיה ניתן לחזור על אותה סדרה של מהלכים, שכן 1001 הוא מספר ראשוני ולא ניתן לחלק אותו בשום מספר טבעי פרט לעצמו ול-1.

 

[עריסטו]

1001 = 7 * 11 * 13

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif לא מובן

"אם נקפיץ רק שתיים מהצפרדעים ניצור מצב בו שני פרטים נמצאים בתזוזה וכמו שאמרנו צפרדע בודדה חייבת לבצע מספר זוגי של קפיצות כדי לחזור למקומה המקורי" נכון, צפרדע בודדה חייבת לבצע מספר זוגי של קפיצות כדי לחזור למקומה המקורי, אבל זה רק אם שתי הצפרדעים האחרות לא זזות...

 

[טלמון סילבר]

"ולנחות מצדו השני" - בכל מרחק?

 

[עריסטו]

כן

 

[1אברהם]

../images/Emo62.gif

נרשום את הסדר הציקלי נגד כיוון השעון שהצפרדעים מסודרות על המעגל שחוסם את משולש הנקודות, למשל ABC אם מתחילים מ A , או BCA אם מתחילים מ B ,או CAB אם מתחילים מ C , בכל מיקרה לא משנה ממי מתחילים מקבלים תמורה עם אותה זוגיות. כל פעם שצפרדע קופצת מעבר לישר המחבר את 2 האחרות אז מקבלים תמורה חדשה עם זוגיות הפוכה לקודמת. אחרי 1001 קפיצות כאלו מקבלים תמורה עם זוגיות הפוכה ( כי 1001 הוא אי זוגי ) לזוגיות של המצב ההתחלתי לכן לא יתכן שנחזור למצב ההתחלתי.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif

 

[טלמון סילבר]

האם אחרי מספר זוגי של קפיצות

אפשרית חזרה למצב ההתחלתי?

 

[1אברהם]

תשובה

כן , למשל צפרדע תקפוץ הלוך וחזור לאותה נקודה, מספר זוגי של פעמים כש 2 האחרות עומדות

 

[טלמון סילבר]

ואם בלי "חזור"?