2000 מספרים

[עריסטו]

2000 מספרים

בוחרים 2000 מספרים טבעיים שונים שלאף אחד מהם אין גורם ראשוני גדול מ - 23. הוכיחו כי יש ביניהם ארבעה מספרים שמכפלתם היא חזקה רביעית של מספר טבעי.

 

[1אברהם]

ניסיון

יש 9 מספרים ראשוניים עד 23 כולל, לכן כל מספר p מבין 2000 המספרים ניתן לתאור יחיד:

p=(2^n1)*(3^n2)*(5^n3)*(7^n4)*(11^n5)*(13^n6)*(17^n7)*(19^n8)*(23^n9)​

כלומר כל מספר ניתן לזהוי יחיד כווקטור מעריכים 9 ממדי שרכיביו הם ( n1,n2,n3....n9 ) מתןך ה2000 מספרים עלינו להראות שיש לפחות רביעיה אחת שסכום וקטור המעריכים מודולו 4 שלהם שווה וקטור ה 0 כל רכיב בוקטור המעריכי מודולו 4 יכול להיות זוגי (0,2) או לא זוגי (1,3) ולכן יש 512 ( 2 בחזקת 9 ) אפשרויות של זוגויות רכיבי הוקטור המעריכי. נחפש כעת זוגות של וקטורים שסכומם ( מודולו 4 ) נותן וקטור מעריכי שכל רכיביו זוגי נוכל להרכיב מינימום של 714 זוגות כאלו.

(2000-512)/2=744​

כלומר יש לנו לפחות 744 זוגות מספרים שסכום וקטור מעריכיהם מודולו 4 נותן וקטור שכל רכיביו זוגים, בכל סכום של זוג כזה כל רכיב יכול להיות 0 או 2 ולכן יש לנו 512 אפשרויות של סכומי זוגות כאלו. כיוון שיש לנו לפחות 744 סכומי זוגות אז יש לפחות 2 זוגות שסכומם וקטור מעריכיהם מודולו 4 זהה ולכן סכום של אותם 2 זוגות אלו מודולו 4 (שהוא סכום 4 וקטורים מעריכיים ) יתן וקטור מעריכי שכל רכיביו הם 0 . ולכן מכפלת אותם 4 מספרים יתן מספר שחזקת כל מספר ראשוני בין 2 ל 23 הוא מספר שמתחלק ב 4 ולכן המספר הוא חזקה רביעית של מספר טבעי.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif שימו לב לרעיון

פותרים בשני שלבים: קודם יוצרים הרבה ריבועים ואחר כך מוצאים שניים מהם שמכפלתם היא חזקה רביעית. בשלב אחד - אי אפשר.

 

[ןן גיל ןן]

יש שני דברים שלא ברורים לי

1. איך מוכיחים שיש 744 זוגות שמסתכמים לוקטור זוגי 2. איך מוודאים ששני סכומי הזוגות שקיבלנו בשלב השני התקבלו מזוגות זרים (ללא מספר משותף לשני הזוגות, שכן אז לא נקבל מכפלת 4 מספרים שונים).

 

[1אברהם]

לגבי 1

יש לנו 512 שובכים ו 2000 יונים. מתחילים לאכלס את השובכים ביונים. כל פעם ששובך מאוכלס בזוג יונים מוציאים את הזוג הזה החוצה ( השובך כעת יהיה ריק ) ושמים את הזוג הזה בכלוב נפרד. וממשיכים בתהליך שאלה: כמה מינימום זוגות יועברו לכלוב נפרד:? תשובה: כדי להגיע למינימום נאכלס קודם כל את כל השובכים ב 512 יונים, יונה בודדת לכל שובך, כעת נאכלס רק שובך בודד אחד בכל שאר ה 1488 היונים, כל פעם שיהיה זוג נוציא אותו לכלוב נפרד, נקבל 1488/2 זוגות שזה 744 שאלה: כמה מכסימום זוגות יועברו לכלוב נפרד:? תשובה: כדי להגיע למכסימום נאכלס תמיד רק את אותו שובך וכך 1000 זוגות יונים יועברו לכלובים נפרדים.

 

[ןן גיל ןן]

../images/Emo127.gif

 

[ןן גיל ןן]

ומה לגבי 2?

אולי לעריסטו הפתרונים?

 

[טלמון סילבר]

בשלב הראשון נבחרו רק זוגות זרים.

 

[ןן גיל ןן]

../images/Emo127.gif

תודה על ההבהרות