1200 קלפים...
- פותח הנושא עריסטו
- פורסם בתאריך
יאיר של תמר
New member
אני מניח שהכוונה היא
ניתן לחלק חלק מן הקלפים לעשר ערימות (לא חייבים לחלק את כולם...) נכון..?
ניתן לחלק חלק מן הקלפים לעשר ערימות (לא חייבים לחלק את כולם...) נכון..?
פתרון בדרך הקשה (כי עדיין לא פתרו בדרך קלה)
נוכיח קודם שאם סכום הקלפים 240 ניתן לחלק לשתי קבוצות של 120 (זה נכון גם אם יש 120 ומחלקים לשתי קבוצות של 60). נמקם בערימה A את הקלפים עם הערכים הקטנים ביותר בחבילה כך הסכום ב A יהיה שווה או גדול מ 120, ברגע שהסכום עבר את 120 לא נוסיף קלפים לקבוצה A. אם הסכום 120 גמרנו. בקבוצה B חייב להיות לפחות קלף אחד עם ערך קטן מ 5. (אחרת הסכום בקבוצה B יהיה 120.) הסכום לא יכול להיות 124 כי אז בקבוצה A יש קלף עם ערך 5 ולכן כל הקלפים בקבוצה B הם של 5. (וזה לא יתכן כפי שהוסבר קודם). אם הסכום 123 אז: בקבוצה B יש קלפים עם ערכים של 5 ו 4 בלבד. אם בקבוצה A יש 3 קלפים עם ערך 1 נעביר אותם לקבוצה B. אחרת נעביר קלף אחד של 1 וקלף אחד של 2. אם אין קלף של 1 או קלף של 2 בוודאות בקבוצה A יש קלף של 3 שאותו נעביר. (לא יתכן שאין 3 קלפי 1 וגם לא קלף של 2 וגם לא קלף של 3. כי הסכום בקבוצה A אי זוגי). אם הסכום הוא 122 אז: אם יש 2 קלפי 1 נעביר אותם. אחרת אם יש קלף של 2 נעביר אותו. בוודאות בקבוצה A יש לפחות 2 קלפי 3 שאותם נעביר ל B ומ B נעביר קלף של 4. אם אין ב B קלף של 4 (אבל בוודאות יש ב B קלפים של 5 ושל 3) נעביר מ A 4 קלפי 3 ומ B נעביר 2 קלפי 5. (אם ב B יש רק קלף אחד של 5 הסכום ב B היה 119 ולא 118). אם הסכום הוא 121 אז: אם יש קלף של 1 ב A נעביר אותו. אם ב A יש קלף 2 וב B קלף 3 נחליף ביניהם. אם ב A יש קלף 2 אבל ב B אין קלף 3 אז מובטח שב B יש קלף 5. נעביר מ A או 3 קלפי 2 או 2 קלפי 3 או קלף 2 וקלף 4 ומ B נעביר את ה 5. ב A יש בוודאות קלף של 3. אם ב B יש קלף של 4 נחליף ביניהם. אחרת נעביר 2 קלפי 3 מ A וקלף 5 מ B. בדרך הארוכה הראיתי שבכל אפשרות ניתן לחלק ל 2 קבוצות של 120. אם רוצים לחלק ל 10 קבוצות של 120 נעשה זאת כך: קודם נחלק ל 2 קבוצות כשבקבוצה A יהיו 120 וב B יהיו 1080. שוב את B נחלק ל 2 קבוצות. בקבוצה A 120 והשאר ב B. אני משוכנע שלעריסטו ולשאר כוכבי הפורום יש דרך קלה ויפה יותר להוכיח זאת. נדמה לי שבדרך כלל בעיות כאלו פותרים בשיטת שובך היונים.
נוכיח קודם שאם סכום הקלפים 240 ניתן לחלק לשתי קבוצות של 120 (זה נכון גם אם יש 120 ומחלקים לשתי קבוצות של 60). נמקם בערימה A את הקלפים עם הערכים הקטנים ביותר בחבילה כך הסכום ב A יהיה שווה או גדול מ 120, ברגע שהסכום עבר את 120 לא נוסיף קלפים לקבוצה A. אם הסכום 120 גמרנו. בקבוצה B חייב להיות לפחות קלף אחד עם ערך קטן מ 5. (אחרת הסכום בקבוצה B יהיה 120.) הסכום לא יכול להיות 124 כי אז בקבוצה A יש קלף עם ערך 5 ולכן כל הקלפים בקבוצה B הם של 5. (וזה לא יתכן כפי שהוסבר קודם). אם הסכום 123 אז: בקבוצה B יש קלפים עם ערכים של 5 ו 4 בלבד. אם בקבוצה A יש 3 קלפים עם ערך 1 נעביר אותם לקבוצה B. אחרת נעביר קלף אחד של 1 וקלף אחד של 2. אם אין קלף של 1 או קלף של 2 בוודאות בקבוצה A יש קלף של 3 שאותו נעביר. (לא יתכן שאין 3 קלפי 1 וגם לא קלף של 2 וגם לא קלף של 3. כי הסכום בקבוצה A אי זוגי). אם הסכום הוא 122 אז: אם יש 2 קלפי 1 נעביר אותם. אחרת אם יש קלף של 2 נעביר אותו. בוודאות בקבוצה A יש לפחות 2 קלפי 3 שאותם נעביר ל B ומ B נעביר קלף של 4. אם אין ב B קלף של 4 (אבל בוודאות יש ב B קלפים של 5 ושל 3) נעביר מ A 4 קלפי 3 ומ B נעביר 2 קלפי 5. (אם ב B יש רק קלף אחד של 5 הסכום ב B היה 119 ולא 118). אם הסכום הוא 121 אז: אם יש קלף של 1 ב A נעביר אותו. אם ב A יש קלף 2 וב B קלף 3 נחליף ביניהם. אם ב A יש קלף 2 אבל ב B אין קלף 3 אז מובטח שב B יש קלף 5. נעביר מ A או 3 קלפי 2 או 2 קלפי 3 או קלף 2 וקלף 4 ומ B נעביר את ה 5. ב A יש בוודאות קלף של 3. אם ב B יש קלף של 4 נחליף ביניהם. אחרת נעביר 2 קלפי 3 מ A וקלף 5 מ B. בדרך הארוכה הראיתי שבכל אפשרות ניתן לחלק ל 2 קבוצות של 120. אם רוצים לחלק ל 10 קבוצות של 120 נעשה זאת כך: קודם נחלק ל 2 קבוצות כשבקבוצה A יהיו 120 וב B יהיו 1080. שוב את B נחלק ל 2 קבוצות. בקבוצה A 120 והשאר ב B. אני משוכנע שלעריסטו ולשאר כוכבי הפורום יש דרך קלה ויפה יותר להוכיח זאת. נדמה לי שבדרך כלל בעיות כאלו פותרים בשיטת שובך היונים.
ניסיון
צעד ראשון נצמצם את 5 סוגי הקלפים למכסימום 3 סוגי קלפים. כל זוג קלפים שערכם 2 ו 3 נתיחס אליהם כאל קלף אחד שערכו 5 , בצורה זו נתפטר מכל הקלפים מסוג 2 או מכל הקלפים מסוג 3 ( לפי מה שיש פחות מסוגם ). כל זוג קלפים שערכם 1 ו 4 נתיחס אליהם כאל קלף אחד שערכו 5 , בצורה זו נתפטר מכל הקלפים מסוג 1 או מכל הקלפים מסוג 4 ( לפי מה שיש פחות מסוגם ). נשארו רק עם 3 סוגי קלפים לכל היותר : קלפים עם ערך 5, קלפים עם ערך 3 (או 2 ) קלפים עם ערך 1 (או 4 ). צעד שני: חלוקה לקבוצות שסכומם 60 ( נשים לב ש 60 מחלק את 1 2 3 4 5 ). נחלק את כל הקלפים מסוג 5 לקבוצות שסכומם הוא 60 , נקבל לבסוף ערימה בילתי גמורה (שארית) שסכומה קטן מ 60 כנ"ל נחלק את כל הקלפים מסוג 3 ( או 2) לקבוצות שסכומם 60 , נקבל לבסוף קבוצת שארית שסכומה קטן מ 60 כנ"ל נחלק את כל הקלפים מסוג 4 ( או 1) לקבוצות שסכומם 60 , נקבל לבסוף קבוצת שארית שסכומה קטן מ 60 כעת יש בידינו קבוצות קלפים ששסכום כל אחד 60 בדיוק (כל קבוצה כזו מכילה קלפים מאותו סוג) + לכל היותר 3 קבוצות שארית שסכום כל אחד מהם קטן מ 60 לכן סכומם קטן מ 180 , מצד שני סכום 3 קבוצות אלו הוא כפולה שלמה של 60 ( כי סה"כ סכום כל הקלפים הוא 1200 שזה כפולה של 60 ושאר הקבוצות הם בנות 60 בדיוק ). לכן סכום 3 הערימות האלו הוא או 0 או 60 או 120, אם סכום 3 השאריות הוא 0 אז יש לנו רק קבוצות של 60 אם סכום 3 השאריות הוא 60 אז יש לנו גם רק קבוצות של 60 (19 עם קלפים מאותו סוג + קבוצה שמורכבת מ 3 השאריות ) אם סכום 3 השאריות הוא 120 אז יש לנו 18 קבוצות של 60 + קבוצה ( המורכבת מ 3 השאריות ) שהיא 120 . בכל אחד משלושת המיקרים אין כעת בעיה לסדר 10 קבוצות של 120 .
צעד ראשון נצמצם את 5 סוגי הקלפים למכסימום 3 סוגי קלפים. כל זוג קלפים שערכם 2 ו 3 נתיחס אליהם כאל קלף אחד שערכו 5 , בצורה זו נתפטר מכל הקלפים מסוג 2 או מכל הקלפים מסוג 3 ( לפי מה שיש פחות מסוגם ). כל זוג קלפים שערכם 1 ו 4 נתיחס אליהם כאל קלף אחד שערכו 5 , בצורה זו נתפטר מכל הקלפים מסוג 1 או מכל הקלפים מסוג 4 ( לפי מה שיש פחות מסוגם ). נשארו רק עם 3 סוגי קלפים לכל היותר : קלפים עם ערך 5, קלפים עם ערך 3 (או 2 ) קלפים עם ערך 1 (או 4 ). צעד שני: חלוקה לקבוצות שסכומם 60 ( נשים לב ש 60 מחלק את 1 2 3 4 5 ). נחלק את כל הקלפים מסוג 5 לקבוצות שסכומם הוא 60 , נקבל לבסוף ערימה בילתי גמורה (שארית) שסכומה קטן מ 60 כנ"ל נחלק את כל הקלפים מסוג 3 ( או 2) לקבוצות שסכומם 60 , נקבל לבסוף קבוצת שארית שסכומה קטן מ 60 כנ"ל נחלק את כל הקלפים מסוג 4 ( או 1) לקבוצות שסכומם 60 , נקבל לבסוף קבוצת שארית שסכומה קטן מ 60 כעת יש בידינו קבוצות קלפים ששסכום כל אחד 60 בדיוק (כל קבוצה כזו מכילה קלפים מאותו סוג) + לכל היותר 3 קבוצות שארית שסכום כל אחד מהם קטן מ 60 לכן סכומם קטן מ 180 , מצד שני סכום 3 קבוצות אלו הוא כפולה שלמה של 60 ( כי סה"כ סכום כל הקלפים הוא 1200 שזה כפולה של 60 ושאר הקבוצות הם בנות 60 בדיוק ). לכן סכום 3 הערימות האלו הוא או 0 או 60 או 120, אם סכום 3 השאריות הוא 0 אז יש לנו רק קבוצות של 60 אם סכום 3 השאריות הוא 60 אז יש לנו גם רק קבוצות של 60 (19 עם קלפים מאותו סוג + קבוצה שמורכבת מ 3 השאריות ) אם סכום 3 השאריות הוא 120 אז יש לנו 18 קבוצות של 60 + קבוצה ( המורכבת מ 3 השאריות ) שהיא 120 . בכל אחד משלושת המיקרים אין כעת בעיה לסדר 10 קבוצות של 120 .
פתרון
צעד ראשון נצמצם את 5 סוגי הקלפים למכסימום 3 סוגי קלפים. כל זוג קלפים שערכם 2 ו 3 נתיחס אליהם כאל קלף אחד שערכו 5 , בצורה זו נתפטר מכל הקלפים מסוג 2 או מכל הקלפים מסוג 3 ( לפי מה שיש פחות מסוגם ). כל זוג קלפים שערכם 1 ו 4 נתיחס אליהם כאל קלף אחד שערכו 5 , בצורה זו נתפטר מכל הקלפים מסוג 1 או מכל הקלפים מסוג 4 ( לפי מה שיש פחות מסוגם ). נשארו רק עם 3 סוגי קלפים לכל היותר : קלפים עם ערך 5, קלפים עם ערך 3 (או 2 ) קלפים עם ערך 1 (או 4 ). צעד שני: חלוקה לקבוצות שסכומם 60 ( נשים לב ש 60 מחלק את 1 2 3 4 5 ). נחלק את כל הקלפים מסוג 5 לקבוצות שסכומם הוא 60 , נקבל לבסוף ערימה בילתי גמורה (שארית) שסכומה קטן מ 60 כנ"ל נחלק את כל הקלפים מסוג 3 ( או 2) לקבוצות שסכומם 60 , נקבל לבסוף קבוצת שארית שסכומה קטן מ 60 כנ"ל נחלק את כל הקלפים מסוג 4 ( או 1) לקבוצות שסכומם 60 , נקבל לבסוף קבוצת שארית שסכומה קטן מ 60 כעת יש בידינו קבוצות קלפים ששסכום כל אחד 60 בדיוק (כל קבוצה כזו מכילה קלפים מאותו סוג) + לכל היותר 3 קבוצות שארית שסכום כל אחד מהם קטן מ 60 לכן סכומם קטן מ 180 , מצד שני סכום 3 קבוצות אלו הוא כפולה שלמה של 60 ( כי סה"כ סכום כל הקלפים הוא 1200 שזה כפולה של 60 ושאר הקבוצות הם בנות 60 בדיוק ). לכן סכום 3 הערימות האלו הוא או 0 או 60 או 120, אם סכום 3 השאריות הוא 0 אז יש לנו רק קבוצות של 60 אם סכום 3 השאריות הוא 60 אז יש לנו גם רק קבוצות של 60 (19 עם קלפים מאותו סוג + קבוצה שמורכבת מ 3 השאריות ) אם סכום 3 השאריות הוא 120 אז יש לנו 18 קבוצות של 60 + קבוצה ( המורכבת מ 3 השאריות ) שהיא 120 . בכל אחד משלושת המיקרים אין כעת בעיה לסדר 10 קבוצות של 120 .
צעד ראשון נצמצם את 5 סוגי הקלפים למכסימום 3 סוגי קלפים. כל זוג קלפים שערכם 2 ו 3 נתיחס אליהם כאל קלף אחד שערכו 5 , בצורה זו נתפטר מכל הקלפים מסוג 2 או מכל הקלפים מסוג 3 ( לפי מה שיש פחות מסוגם ). כל זוג קלפים שערכם 1 ו 4 נתיחס אליהם כאל קלף אחד שערכו 5 , בצורה זו נתפטר מכל הקלפים מסוג 1 או מכל הקלפים מסוג 4 ( לפי מה שיש פחות מסוגם ). נשארו רק עם 3 סוגי קלפים לכל היותר : קלפים עם ערך 5, קלפים עם ערך 3 (או 2 ) קלפים עם ערך 1 (או 4 ). צעד שני: חלוקה לקבוצות שסכומם 60 ( נשים לב ש 60 מחלק את 1 2 3 4 5 ). נחלק את כל הקלפים מסוג 5 לקבוצות שסכומם הוא 60 , נקבל לבסוף ערימה בילתי גמורה (שארית) שסכומה קטן מ 60 כנ"ל נחלק את כל הקלפים מסוג 3 ( או 2) לקבוצות שסכומם 60 , נקבל לבסוף קבוצת שארית שסכומה קטן מ 60 כנ"ל נחלק את כל הקלפים מסוג 4 ( או 1) לקבוצות שסכומם 60 , נקבל לבסוף קבוצת שארית שסכומה קטן מ 60 כעת יש בידינו קבוצות קלפים ששסכום כל אחד 60 בדיוק (כל קבוצה כזו מכילה קלפים מאותו סוג) + לכל היותר 3 קבוצות שארית שסכום כל אחד מהם קטן מ 60 לכן סכומם קטן מ 180 , מצד שני סכום 3 קבוצות אלו הוא כפולה שלמה של 60 ( כי סה"כ סכום כל הקלפים הוא 1200 שזה כפולה של 60 ושאר הקבוצות הם בנות 60 בדיוק ). לכן סכום 3 הערימות האלו הוא או 0 או 60 או 120, אם סכום 3 השאריות הוא 0 אז יש לנו רק קבוצות של 60 אם סכום 3 השאריות הוא 60 אז יש לנו גם רק קבוצות של 60 (19 עם קלפים מאותו סוג + קבוצה שמורכבת מ 3 השאריות ) אם סכום 3 השאריות הוא 120 אז יש לנו 18 קבוצות של 60 + קבוצה ( המורכבת מ 3 השאריות ) שהיא 120 . בכל אחד משלושת המיקרים אין כעת בעיה לסדר 10 קבוצות של 120 .
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.