רשמתי 遊ぶしよう, לא 遊ぶしょう שבאמת אמור להיות 遊びましょう כמו שציינת במידה ורוצים להטות את זה ל-volitional. או ש-しよう הוא בדיוק אותו הדבר כמו しょう ולכן גם חשבתי שזה דומה ל-let's באנגלית?
ה-IME לא מאפשר לך אפילו להקליד את זה עם המרה אוטומטית. אולי התכוונת ל-遊びしよう? למרות שגם אז זה בא עם משהו אחר בד"כ, כמו: 雪遊びしよう (בואו נעשה משחק שלג -> בואו נשחק בשלג).