תזכורת

[סטודנטלמתמטיקה]

תזכורת

במסגרת קורס בגיאומטריה דפירנציאלית
בהקשר של תבניות ריבועיות נתנו שתיי תזכורות מאלגברה לינארית שזה קורס שעשיתי לפני המון זמן.
אשמח לעזרה עם ההוכחה שלהן.
1. אם A סימטרית אז יש לה וקטורים עצמיים u,v וע"ע lambda1,lambda2 כך ש:
Au=lambda1u and Av = lambda2v.

2. אם A מטריצה סימטרית, יש קבוצת ו"ע שהיא בסיס אורתונורמלי למרחב.
ואיך נובע מ-2 שיש מטריצה מלכסנת כך ש P^t = P^-1?

חלוד בזה לגמרי..אודה על עזרתכם.

 

[אורי769]

תשובות

לגבי 1 -
לא ברור מה שאלתך. לפי הגדרה, אם A ריבועית אז λ הוא ע"ע עם וקטור עצמי v אם מתקיים Av=λv. זאת ההגדרה של ע"ע וו"ע, בלי קשר אם A סימטרית או לא.
לגבי 2 -
בסיס אורתונורמלי הוא בסיס המורכב מוקטורים מנורמה 1 הניצבים זה לזה. כלומר לכל v בבסיס v·v=1 ולכל u השונה מ-v בבסיס u·v=0. עכשיו תסדר את איברי הבסיס במטריצה P ותכפיל אותה ב-P^t. מה מקבלים? את מטריצת היחידה.