תורת המספרים

[srulikbd]

תורת המספרים

הוכיחו שיש מיליון מספרים טבעיים שאף סכום של חלק מהם אינו ריבוע. לקוח מתחרות הערים. מצאתי 2 פתרונות וראיתי עוד אחת. שאלה חמודה

 

[עריסטו]

פתרון אפשרי

מיליון המספרים מהצורה zzz 1000000000000^n+1, כאשר n בין 1 למיליון. זאת משום שאם בחרנו תת-קבוצה S בעלת איבר מקסימלי zzz a = 1000000000000^m+1, אזי סכום איברי S נמצא בין zzz (1000000^m)^2 ל - zzz (1000000^m+1)^2, כלומר הוא בין שני ריבועים עוקבים ולכן אינו ריבוע.

 

[srulikbd]

דומה לשלי

לקחתי אותם מספרים מהצורה zz (1000 000)!^2+1 zz ובאותה דרך אפשר להסביר את שלך-הסכומים הם המספר הזה כפול x כשהוא נע בין 1 למיליון. אם x בוא ריבוע, אז המספר השני הוא לא ריבוע ולכן מכפלתם אינה ריבוע. אם x אינו ריבוע, אז המספר השני לא יכול להשלים אותו לריבוע כי אין להם אותם מחלקים (מתחלק בכל מספר בין2 למיליון עם שארית 1) לכן גם מכפלתם אינה ריבוע. סך הכל זה נראה הגיוני גם בלי שום הוכחה.

 

[טלמון סילבר]

דוגמה:

הנה המספרים:

10 1000 100000 10000000 1000000000 . . . ,'וכו​

ובמילים אחרות, קבוצה כלשהי של מיליון מספרים שונים מהצורה: 10 בחזקת מספר טבעי אי-זוגי.

 

[טלמון סילבר]

הערה פשוטה -

במקום 10 אפשר להשתמש בכל מספר טבעי אחר שאינו ריבוע של מספר שלם. למשל הסדרה הבאה: 2, 8, 32, 128, 512 וכו'. אם נשתמש במספר a במקום 10, ונכתוב את המספרים בשיטת הספירה על בסיס a, אז הם ייראו בדיוק כמו בדוגמה עם בסיס 10.

 

[srulikbd]

נכון, נחמד תודה

 

[srulikbd]

פתרון של תחרות העריםן

הפתרון הנוסף שלי שגויי http://teramips.com/totsite/Solutions/Tirgul/T11/Autumn/S_11_A_O_3.doc

 

[טלמון סילבר]

הפתרון הזה נראה בבינארית כך:

הסדרה היא:

11 1100 110000 11000000 . . .​

שזה אותו הפרינציפ כמו בפתרון שהצעתי. הפתרון שהצעתי מסתמך על כך, שריבוע של מספר שלם בתצוגה עשרונית מסתיים במספר זוגי של אפסים, והפתרון הנוכחי על כך שריבוע של מספר שלם בתצוגה בינארית מסתיים ב-01 ומספר זוגי של אפסים.

 

[mor48]

דרך נוספת (אולי)

נשתמש בתכונה

(n+1)^2- n^2 = 2n+1 נבחר את האיבר הבא בסדרה שלנו כך שיהיה שווה ל An+1 = m^2+1 כאשר 2m > sum(A1,A2 ... An) כך שהאיבר הראשון יהיה 2 השני 5 השלישי צריך לקיים 2m > 2+5 ==> m=4 A3 = 4^2+1 = 17 2m > 17+2+7 ==>m = 14 A4 = 197 וכו.​

 

[ןן גיל ןן]

עוד פתרון

יהי p מספר ראשוני גדול ממיליון בריבוע. וניקח את המספרים p,2p,3p,...,1000000p. אז כל סכום של קבוצה חלקית של המספרים מתחלק ב- p אך אינו מתחלק ב- p^2. לכן אינו יכול להיות ריבוע.

 

[srulikbd]

נחמד!

 

[טלמון סילבר]

כבר יש מספיק, אבל עוד אחד

עבור כל n קיימת קבוצה של n מספרים טבעיים שסכום כל חלק מהם אינו ריבוע של מספר שלם. עבור n=1 זו יכולה להיות, למשל, הקבוצה {2}. נניח שקקימת קבוצה כזו עבור n=k:

{a[1], a[2], . . ., a[k]}​

יהי N סכום המספרים האלה. יהי:

a[k+1] = N² + 1​

כל סכום של חלק מ-k המספרים הראשונים אינו ריבוע של מספר שלם. ואם S הוא סכום של חלק מהם וגם האבר החדש, אז:

N² < S < N² + 2N + 1​

גם-כן אינו ריבוע של מספר שלם.