תורת המספרים 3

[srulikbd]

תורת המספרים 3

מצא את כל המספרים מצורה z 2^n z (כאשר n טבעי) כך שאם נמחוק את הספרה הראשונה(הכי שמאלית) שלו בייצוג העשרוני נקבל שוב חזקה של 2. קליל אבל חביב

יש לי פתרון ולתחרות הערים עוד 1

 

[עריסטו]

בוא נראה

המספר המקורי והמספר אחרי מחיקת סיפרה הם חזקות של 2 שמסתיימות באותה סיפרה. הסיפרה האחרונה של חזקה של 2 משתנית במחזוריות: 2, 4, 8, 6, 2,... היחס בין המספר המקורי והמספר אחרי מחיקת סיפרה הוא פחות מ - 100. מצירוף העובדות הנ"ל נקבל שהמספר המקורי גדול פי 16 מהמספר החדש. אם המספר הקטן הוא n, ההפרש בין שני המספרים הוא 15n. זהו מספר שכל ספרותיו פרט לראשונה הן אפסים, כלומר הוא מהצורה k*10^m, כאשר k היא סיפרה (שמתחלקת ב - 3). נחלק ב - 15 ונקבל: zzz 2*k/3*10^(m-1) zzz. זה המספר הקטן. הוא חזקה של 2. אם m>1, פירוש הדבר שיש לנו חזקה של 2 שמסתיימת בסיפרה 0. זה לא ייתכן. מסקנה: m=1, כלומר ההפרש בין המספר המקורי למספר החדש הוא מספר דו-ספרתי שמסתיים ב - 0. כעת קל לבדוק את כל האפשרויות, ומקבלים שהפתרונות היחידים הם 32 ו - 64. (הערה - יכול להיות שחלק ממה שכתבתי מיותר: פשוט חשבתי תוך כדי כתיבה וזה מה שיצא.)

 

[srulikbd]

ההתחלה כמו שלי

אחרי זה מסתכלים על המחזוריות של העשרות ורואים שהיא 5, לכן ספרת העשרות צריכה להימחק-אז צריך לבדוק את כל החזקות של 2 שהן דו ספרתיות.

 

[srulikbd]

חידה נוספת טובה!

משום מה הייתה בIMO אבל היא דיי קלה. מצאו מספרים טבעיים כלשהם שסכומם 2007 כך שמכפלתם תיהיה מקסימלית.

 

[טלמון סילבר]

סתם ניחוש

כולם שווים 3.

 

[טלמון סילבר]

...ואם מותר להשתמש

במספרים ממשיים חיוביים כלשהם, אז הייתי מהמר על הרבה מאוד e.

 

[Renatius Cartesius]

כמה זה...

הרבה?

 

[טלמון סילבר]

פחות מהמקסימום האפשרי.

עדין בגדר ניחוש: הייתי "משאיר בצד", בנוסף לשארית מחילוק המספר ב-e, עוד e נוסף. אם "שארית מוגדלת" זו קטנה מ-4 ניקח אותה בשלמותה, אחרת ניקח פעמיים את החצי שלה.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo128.gif לא נכון.

אם מותר לחלק את המספר הנתון למספרים חיוביים ממשיים כלשהם, המקסימום יושג כאשר כל החלקים שווים! השאלה היא בדיוק, לכמה חלקים שווים צריך לחלק את המספר הנתון, וזה כבר, כנראה, לא תרגיל מסובך. בכל אופן, יש מספר סופי של אפשרויות. המממ.... מעניין איך זה עם המספר 2007

 

[טלמון סילבר]

כצפוי, המקסימום

מתקבל כאשר גודלו של כל חלק קרוב ל-e.

 

[Renatius Cartesius]

שימוש...

בכופלי לגראנז' יספק תשובה מהירה. ובלי לגראנז'... אולי אינדוקציה...?

 

[Renatius Cartesius]

בעצם...

אין לנו מספיק אילוצים.......

 

[Renatius Cartesius]

ניסיון לתשובה.

מלגאנז' נובע שכל המחוברים הם שווים. כעת אם נשים לב ש- 2007=3*3*223 מבדיקה פשוטה נובע: zzz 3^223>223^9

 

[ןן גיל ןן]

לא בדיוק (+ כיוון לפיתרון)

לגראנז' לא תקף כאן כי המספרים הם שלמים. אבל- ההפרש בין כל שני מספרים הוא לכל היותר 1 (אם ההפרש גדול או שווה 2, קל לראות שאם נוסיף 1 לקטן ונפחית 1 מהגדול אז הסכום לא השתנה אך המכפלה גדלה). כמו כן מכיוון שכל 2+2+2 אפשר להחליף ב- 3+3 ולהרוויח, נובע שמס' ה-2ים הוא לכל היותר 2 ולכן אם המספרים הם רק 2-ים ו 3-ים אז משיקולי התחלקות ב-3 יש רק 2-ים. כמו כן אם המספרים הם 3-ים ו 4-ים אז מכיוון ש- 4+4+4 ניתן להחליף ב- 3+3+3+3 ולהרוויח, רואים באותו אופן ששוב יש רק 3-ים. נשאר להוכיח שלא ייתכן שכל המספרים גדולים או שווים 4 (וקרוב לוודאי ניתן בעזרת אי שוויונות).

 

[עריסטו]

פתרון

במכפלה לא יופיע המספר 1 כי הוא "מבזבז" חלק מהסכום בלי לתרום כלום למכפלה. כמו כן לא יופיע מספר גדול מ - 4, כי אם מופיע מספר כזה (נסמן אותו x) ניתן להחליף אותו ב - 2 ו - x-2. זה שומא על הסכום ומגדיל את המכפלה. במספר 4 אין צורך להשתמש כי ניתן להחליף אותו ב - 2 ו - 2. המספר 2 לא יופיע שלש פעמים (או יותר) כי במקום 2,2,2 עדיף להשתמש ב-3,3 - יש להם אותו סכום ומכפלתם גדולה יותר. לכן במכפלה המקסימלית מופיעים רק 2 ו - 3, כאשר המספר 2 מופיע לכל היותר פעמיים. פתרון: להשתמש במספר 3 669 פעמים.

 

[עריסטו]

שומא = שומר

 

[ןן גיל ןן]

../images/Emo127.gif

 

[srulikbd]

זה הפתרון הנפוץ

הפתרון שלי- הלכתי על המקרה של שני מספרים z x^2>=(x+k)(x-k) z ואז ממשיכים לחלק את המספרים עד שהם קטנים...וכרגיל 3 בריבוע גדול מ2 בשלישית...