תורת המידה : //
מצטער על ריבוי השאלות אבל הקורס הזה מרגיש לי כבד מהרגיל..
מדובר על הרצאה שאני עובר עליה וחלק ברור..חלק פחות.
ההרצאה התחילה כשהוא אמר שהמטרה להגדיר אינטגרל לבג ותוך כדי נגדיר גם פונקציות אינטגרביליות.
הוא התחיל התחיל בהגדרות ולמות כשהמטרה להגיע למשפט שנקרא "התכנסות מונוטונית של לבג".
אני אפרט את החלק שעברתי עליו עד עכשיו והשאלות שלי לגביו (רובן או כולן עוקסות בהגדרות שהוא נתן ואני חושש שאסתבך עם ההמשך אם לא אסגור את הפינות האלה). יהיה קצת ארוך אבל מה אני אעשה..מקווה שתוכלו לעזור.
הוא הגדיר "פונקצית אינדיקטור" לקבוצה מדידה E שמוכלת ב-R כך:
I_E(x) = 1 if x in E, otherwise 0
כעת הוא הגדיר אינטגרל לבג של אינדיקטור של קבוצה מדידה להיות המידה שלה.
כלומר: (S(I_E(x))dm = m(E .
שאלה 1:
אני עדיין לא סגור על עצמי אם הבנתי מה זה מידת לבג של E. היה משהו שהוגדר כמידה חיצונית וזה היה האינפימום של קבוצת אורכי כל הכיסויים של קבוצה ב-R.
לא נראה לי שמידה חיצונית זה מידת לבג. אשמח להסבר בעניין הזה.
דבר נוסף שלא ברור לי עד כאן זה איך צריך להסתכל על האינטגרל הזה..למה ככה מגדירים מושג של אינטגרל..בעבר האינטרפרטציה הגיאומטרית הייתה של שטח מתחת לגרף..הוא זרק איזה משפט "מהסתכלות של רימן זה לא פשוט. מהסתכלות של לבג זה הדבר הכי פשוט שיש..". משהו כזה..לא יודע מה הוא בא להגיד פה ומה אני צריך לקחת מהאמירה הזו.
אח"כ הוא הגדיר אינטגרל של פונקציה פשוטה phi:R->R מדידה המקבלת מספר סופי של ערכים כלומר phi(x)|<infinity|
בפרט, (phi(x)=sum(n=1 to N) an*I_En(x כאשר {En = phi^(-1){an
En חיתוך Em שווה קבוצה ריקה עבור m שונה מn.
zz S(phi)dm = sum(n=1 to N) an*m(En) zz כדי להיות לינארי.
2.
א'. למה שכתוב באדום הוא קרא "הצגה קנונית". לא ברור לי אם זה חלק מההגדרה של פונקציה פשוטה, או שההגדרה של פונקציה פשוטה זה כל מה שלא באדום (כולל מה שכתוב בשחור אחרי החלק האדום)? או שפונקציה פשוטה זה רק פונקציה שמקבלת מספר סופי של ערכים?
ב'. הוא כתב "בפרט". זה אומר שמה שכתוב באדום נובע ממה שכתוב לפני האדום? כלומר נובע מזה ש-phi מקבלת מספר סופי של ערכים? אם כן, לא רואה איך זה נובע בכלל.
ג'. האם הסכום ש-phi שווה לו, זו הגדרה שהחליטו לתת לפונקציה phi או שאמורים להסיק ש-phi שווה לסכום הזה?
ד'. הסכום הזה, להבנתי, לכל x נתון, הוא מכיל רק מקדם an אחד (מבין a1,a2,a3,...). כי רק אחד מהאינדיקטורים שונה מ-0 מהסיבה שה-Enים זרים.
והמקדמים an בסכום הם בעצם קבוצת הערכים הסופית ש-phi מקבלת ואת האינדיקטורים מגדירים על En כאשר En כלשהו הוא קבוצת ה-xים שphi שולחת ל-an המתאים..כלומר E1 זה קבוצת האיקסים שנשלחים ע"י phi ל-a1,
E2 זה קבוצת האיקסים שנשלחים ל-a2 וכו'.
אשמח לדעת אם מה שרשמתי ב-ד' נכון.
ה'. למה נכון...או למה טבעי..אם בכלל זה אמור להיות טבעי..להגדיר את האינטגרל של phi להיות הסכום (an*m(En ומה זה מתאר..אינטואיטיבית..גיאומטרית..לא יודע..אם בכלל זה מתאר משהו..).
ו'. בסוף הוא כתב "כדי להיות לינארי". לא הכי ברור לי מה זה אומר ולמה זה קשור.
3. הוא אמר בע"פ..והספקתי איכשהו לרשום שלהגדרה הזו יש בעיתיות אם phi זו פונקציה שהיא 1 עבור איקסים גדולים או שווים 0, ו-1- לאיקסים שליליים.
אבל לצערי אני לא רואה מה הבעיתיות..לא הצלחתי לעקוב אחריו בחלק הזה של ההרצאה הזו.
בכל אופן הוא טען שכדי לפתור את הבעיתיות הזו, ההגדרה היא עבור כל פונקציה phi פשוטה ואי שלילית.
4. בהגדרה שלו שכתבתי מקודם, כתוב ש-phi מדידה. זה משהו שנדמה לי שהוא הוסיף בהמשך מאיזשהי סיבה. לא ברור לי למה צריך לדרוש ש-phi תיהיה פונקציה מדידה.
כעת הוא נתן הגדרה כזו:
אם E חלקית ל-R היא קבוצה מדידה אז מגדירים
zz S(phi)dm = S(phi*I_E)dm zz כשמתחת לאינטגרל משמאל כתוב E
(אמר שזה אינטגרל על קטע. מאפסים אותו מחוץ לקבוצה..לא חושב ש-E זה קטע בהכרח..אבל אולי אני טועה.)
או אם יש הצגה קנונית: phi = sum(n=1 to N)an*I_En
אז: (Sphidm = sum(n=1 to N)an * m(En^E
כאשר ^ הכוונה חיתוך.
א'. לגבי מה שכתוב בכחול, הוא אמר שאם E לא מדידה המכפלה מימין לא מדידה.
למה צריך שהמכפלה מימין תיהיה מדידה?
ב'. אם E לא מדידה, זה אומר ש-I_E (קרי: אינדיקטור על E) היא פונקציה לא מדידה? למה?
ג'. לא ברור לי השיוויון באדום..איך הוא הגיע אליו.
לאחר מכן הוא הוכיח למה קצרה ואז הוכיח שהאינטגרל נכון לעכשיו מקיים את התכונות של לינאריות..מונוטוניות..וכו'.
נראה לי שעם הדברים האלה אסתדר לבד אחרי שאבין את החלק הראשון של ההגדרות שהעדפתי להתעכב עליו כרגע.
עזרה תתקבל בברכה
מצטער על ריבוי השאלות אבל הקורס הזה מרגיש לי כבד מהרגיל..
מדובר על הרצאה שאני עובר עליה וחלק ברור..חלק פחות.
ההרצאה התחילה כשהוא אמר שהמטרה להגדיר אינטגרל לבג ותוך כדי נגדיר גם פונקציות אינטגרביליות.
הוא התחיל התחיל בהגדרות ולמות כשהמטרה להגיע למשפט שנקרא "התכנסות מונוטונית של לבג".
אני אפרט את החלק שעברתי עליו עד עכשיו והשאלות שלי לגביו (רובן או כולן עוקסות בהגדרות שהוא נתן ואני חושש שאסתבך עם ההמשך אם לא אסגור את הפינות האלה). יהיה קצת ארוך אבל מה אני אעשה..מקווה שתוכלו לעזור.
הוא הגדיר "פונקצית אינדיקטור" לקבוצה מדידה E שמוכלת ב-R כך:
I_E(x) = 1 if x in E, otherwise 0
כעת הוא הגדיר אינטגרל לבג של אינדיקטור של קבוצה מדידה להיות המידה שלה.
כלומר: (S(I_E(x))dm = m(E .
שאלה 1:
אני עדיין לא סגור על עצמי אם הבנתי מה זה מידת לבג של E. היה משהו שהוגדר כמידה חיצונית וזה היה האינפימום של קבוצת אורכי כל הכיסויים של קבוצה ב-R.
לא נראה לי שמידה חיצונית זה מידת לבג. אשמח להסבר בעניין הזה.
דבר נוסף שלא ברור לי עד כאן זה איך צריך להסתכל על האינטגרל הזה..למה ככה מגדירים מושג של אינטגרל..בעבר האינטרפרטציה הגיאומטרית הייתה של שטח מתחת לגרף..הוא זרק איזה משפט "מהסתכלות של רימן זה לא פשוט. מהסתכלות של לבג זה הדבר הכי פשוט שיש..". משהו כזה..לא יודע מה הוא בא להגיד פה ומה אני צריך לקחת מהאמירה הזו.
אח"כ הוא הגדיר אינטגרל של פונקציה פשוטה phi:R->R מדידה המקבלת מספר סופי של ערכים כלומר phi(x)|<infinity|
בפרט, (phi(x)=sum(n=1 to N) an*I_En(x כאשר {En = phi^(-1){an
En חיתוך Em שווה קבוצה ריקה עבור m שונה מn.
zz S(phi)dm = sum(n=1 to N) an*m(En) zz כדי להיות לינארי.
2.
א'. למה שכתוב באדום הוא קרא "הצגה קנונית". לא ברור לי אם זה חלק מההגדרה של פונקציה פשוטה, או שההגדרה של פונקציה פשוטה זה כל מה שלא באדום (כולל מה שכתוב בשחור אחרי החלק האדום)? או שפונקציה פשוטה זה רק פונקציה שמקבלת מספר סופי של ערכים?
ב'. הוא כתב "בפרט". זה אומר שמה שכתוב באדום נובע ממה שכתוב לפני האדום? כלומר נובע מזה ש-phi מקבלת מספר סופי של ערכים? אם כן, לא רואה איך זה נובע בכלל.
ג'. האם הסכום ש-phi שווה לו, זו הגדרה שהחליטו לתת לפונקציה phi או שאמורים להסיק ש-phi שווה לסכום הזה?
ד'. הסכום הזה, להבנתי, לכל x נתון, הוא מכיל רק מקדם an אחד (מבין a1,a2,a3,...). כי רק אחד מהאינדיקטורים שונה מ-0 מהסיבה שה-Enים זרים.
והמקדמים an בסכום הם בעצם קבוצת הערכים הסופית ש-phi מקבלת ואת האינדיקטורים מגדירים על En כאשר En כלשהו הוא קבוצת ה-xים שphi שולחת ל-an המתאים..כלומר E1 זה קבוצת האיקסים שנשלחים ע"י phi ל-a1,
E2 זה קבוצת האיקסים שנשלחים ל-a2 וכו'.
אשמח לדעת אם מה שרשמתי ב-ד' נכון.
ה'. למה נכון...או למה טבעי..אם בכלל זה אמור להיות טבעי..להגדיר את האינטגרל של phi להיות הסכום (an*m(En ומה זה מתאר..אינטואיטיבית..גיאומטרית..לא יודע..אם בכלל זה מתאר משהו..).
ו'. בסוף הוא כתב "כדי להיות לינארי". לא הכי ברור לי מה זה אומר ולמה זה קשור.
3. הוא אמר בע"פ..והספקתי איכשהו לרשום שלהגדרה הזו יש בעיתיות אם phi זו פונקציה שהיא 1 עבור איקסים גדולים או שווים 0, ו-1- לאיקסים שליליים.
אבל לצערי אני לא רואה מה הבעיתיות..לא הצלחתי לעקוב אחריו בחלק הזה של ההרצאה הזו.
בכל אופן הוא טען שכדי לפתור את הבעיתיות הזו, ההגדרה היא עבור כל פונקציה phi פשוטה ואי שלילית.
4. בהגדרה שלו שכתבתי מקודם, כתוב ש-phi מדידה. זה משהו שנדמה לי שהוא הוסיף בהמשך מאיזשהי סיבה. לא ברור לי למה צריך לדרוש ש-phi תיהיה פונקציה מדידה.
כעת הוא נתן הגדרה כזו:
אם E חלקית ל-R היא קבוצה מדידה אז מגדירים
zz S(phi)dm = S(phi*I_E)dm zz כשמתחת לאינטגרל משמאל כתוב E
(אמר שזה אינטגרל על קטע. מאפסים אותו מחוץ לקבוצה..לא חושב ש-E זה קטע בהכרח..אבל אולי אני טועה.)
או אם יש הצגה קנונית: phi = sum(n=1 to N)an*I_En
אז: (Sphidm = sum(n=1 to N)an * m(En^E
כאשר ^ הכוונה חיתוך.
א'. לגבי מה שכתוב בכחול, הוא אמר שאם E לא מדידה המכפלה מימין לא מדידה.
למה צריך שהמכפלה מימין תיהיה מדידה?
ב'. אם E לא מדידה, זה אומר ש-I_E (קרי: אינדיקטור על E) היא פונקציה לא מדידה? למה?
ג'. לא ברור לי השיוויון באדום..איך הוא הגיע אליו.
לאחר מכן הוא הוכיח למה קצרה ואז הוכיח שהאינטגרל נכון לעכשיו מקיים את התכונות של לינאריות..מונוטוניות..וכו'.
נראה לי שעם הדברים האלה אסתדר לבד אחרי שאבין את החלק הראשון של ההגדרות שהעדפתי להתעכב עליו כרגע.
עזרה תתקבל בברכה