תורת המידה

[הרוצה להחכים]

תורת המידה

אשמח לעזרה בשתי השאלות הבאות.

 

[1ca1]

לא הבנתי מה קשה כאן

1.ב. אתה רואה כאן סדרת פונקציות שחסומות ע"י פונקציה אינטגרבילית? (ד"א, למשפט קוראים DCT - משפט ההתכנסות הנשלטת, המשפט של החסומה הוא רק מקרה פרטי די מוגבל (מרחב ממידה סופית)).
אפשר אולי לעשות ע"י הרחבות (כי זה מרחב ממידה סופית, אז תזרוק חלק מהמרחב, אבל בכל אופן, זה לא מהמשפט הבסיסי).
&nbsp
2.א. אני אתן לך רמז - הפונקציה הפשוטה הראשונה תהיה zz f1(x)=[x]/2 zz
לכתוב את הפונקציות במפורש זה קצת מעיק, אבל אפשרי.
אתה יכול להימנע מזה אם תוכיח למה כללית - אם f,g פשוטות, אז סכומן הוא פונקציה פשוטה גם כן (אם אתה מסתבך עם סכומים אינסופיים, זה לא קריטי, צמצם את f לקטע zz [-n,n] zz ושם תיקח את הסכום החלקי עד n, זה גם מתכנס נקודתית ל-f).
2.ב. f היא סכום עולה של פונקציות פשוטות, ולכן אינטגרבילית.
אפשר לחשב את הגבול ישירות מכתיבה מפורשת בסעיף א, או סתם ישירות, חשב את האינטגרל של הקירוב ה-nי שהגדרתי (רמז - חלק לאינטרוולים באורך 1), ואז קח גבול, זה עובד בגלל MCT או משהו.
2.ג. אנחנו מכירים את משפט לבג, אינטגרבילית רימן אמ"מ רציפה פרט למידה אפס של אי-רציפויות, תחשב את האי-רציפויות ותבדוק מה המידה שלהן.

 

[הרוצה להחכים]

תודה!

 

[הרוצה להחכים]

עוד תורת המידה

(לגבי השאלה השנייה, אני יודע לטפל במחובר הראשון מ-0 עד 1)

 

[1ca1]

תשובה

לא חושב שצריך פה באמת את תורת המידה, סה"כ את רוב הדברים כאן אפשר ממש לחשב ביד עם הוכחה, אבל תמיד עוזר משפטים גדולים.
&nbsp
א. ההתכנסות היא מונוטונית של פונקציות חיוביות, ולכן מ-MCT אתה מקבל שזה האינטגרל של S|cosx|/x dx
נשאר לך להראות שיש המון קטעים שבהם הקוסינוס בערך מוחלט גדול מחצי, ואז בן-דוד של משפט ההשוואה (עם טור, או ישירות עם חישוב אינטגרל או משהו, זה הערכה פשוטה) תראה לך שאתה דומה ל- zz 0.5S1/x dx zz או חבר קרוב של דבר כזה.
וזה מתפוצץ.
&nbsp
ב. e^-x אינטגרבילית בתחום הזה ע"י חישוב, ולכן אפשר להשתמש ב-DCT ולקבל שזה אינטגרל של אפס שיוצא אפס.
(אפשר גם ממש להשתמש ב-DCT הפוך של סדרה יורדת.
אפשר גם פשוט ממונוטוניות להראות שזה קטן או שווה מ-e^(-x^n) כפול הנגזרת שצריכה להיות שם או משהו, ואז לחשב אינטגרל ולהראות שהוא שואף לאפס (ע"מ באמת להסתדר, בגלל שאתה חותך ב-1, מראש תיקח לעצמך אפסילון מקום, תוסיף באמצע אינטגרל בין 1 ל-1+epsilon שהוא חסום באופן אחיד ע"י אפסילון למשל, ואז אתה עובד עם 1+epsilon שבו קל לטפל).).

 

[הרוצה להחכים]

אוקיי, תודה

 

[הרוצה להחכים]

ועוד אחת - והפעם לא שאלה חישובית מעצבנת

התחלתי, אבל נתקעתי.

אילו היה נתון לי שזה מרחב מידה סופית הייתי יכול להסיק שסדרת המידות שואפת לאפס, אבל זה גם לא נתון לי וגם לא מה שביקשו כי ביקשו את סדרת המידות כפול n.

כיוון נוסף שחשבתי עליו הוא להוכיח שהטור שאלו איבריו מתכנס ולכן סדרת איבריו אפסה. אבל לא יודע איך לבצע זאת טכנית בפועל.

אשמח לעזרה

 

[1ca1]

זאת שאלה ידועה

כבר פתרתי אותה פה פעם לפני כמה שנים, ובטח לפני הרבה שנים כשלמדתי תורת המידה

.
הפתרון הרבה יותר פשוט ממה שאתה חושב. בעבר גם אני נתתי פתרונות מסובכים וארוכים לזה.
&nbsp
מא"ש צבישב (כן כן, זה מהסתברות, רק שהוא עובד גם במידה אינסופית כל עוד הפונקציה אינטגרבילית) אנחונ יודעים ש-
zz mu(En)<=1/n S|f(x)|dx zz
כאשר האינטגרל נילקח על En.
ולכן zz n*mu(En)<=S|f(x)|dx zz
&nbsp
מהחישוב שעשית (ואין צורך להגיד ממשית כב"מ, אם היתה קבוצה ממידה חיובית עם ערך אינסוף (או מינוס אינסוף), אז הפונקציה לא הייתה אינטגרבילית), המידה של mu(E_infinity)=0
ואנחנו יודעים שאינטגרל של פונקציה על קבוצה ממידה אפס הוא אפס.
דרך יותר פורמלית - להגדיר את האינטגרל בצד שמאל בתור אינטגרל על כל המרחב, אבל של zz |f(x)|*X_En(x) zz, כאשר X_En היא הפונקציה המצייגת של En.
זאת סדרה יורדת לאפס ולכן משפט ההתכנסות המונוטוני יעבוד בגירסא ההפוכה (אפשר גם DCT עם f למשל, אין כאן בעיה אמיתית להראות התכנסות של האינטגרל).

 

[הרוצה להחכים]

קודם כל תודה

מה היינו עושים כאן, אם לא היית שתגיב...
&nbsp
לגבי א"ש צ'בישב, לא למדנו אותו (זה המקום בטח לעגבניות...) ולכן אני לא יכול להשתמש בו. אשמח אם תסביר באופן יותר ברור את ה"דרך יותר פורמלית" שלך. על איזה אינטגרל בצד שמאל אתה מדבר?

 

[הרוצה להחכים]

נראה לי שהבנתי אותך

וכן למדנו את הא"ש הזה. אבל לא הבנתי איך אתה ממשיך משם?

אתה משאיף את שני הצדדים לאינסוף, ואז מה?

כאן אני תקוע, כי אם היה נתון לי שזה מרחב מידה סופית, הייתי יכול להסיק שאגף ימין שואף לאינטגרל על mu(E_infinity) zz ולכן זה מתאפס. אבל זה לא נתון לי...

 

[הרוצה להחכים]

אבהיר את כוונתי

 

[1ca1]

כתבתי שם בדיוק

תגדיר fn(x)=|f(x)|*X_En(x), אז fn שואפת נקודתית ל-0, וכל הסדרה חסומה ע"י |f| שהיא אינטגרבילית ואז DCT סוגר את העניין.
&nbsp
ד"א, אין צורך ללמוד את צביצב, מספיק לצייר פרבולה למשל, ולמתוח קו...

 

[הרוצה להחכים]

סגור, הבנתי.

 

[הרוצה להחכים]

ועוד אחת

סליחה על ההצפה, מניח שזה ימשיך ככה בימים הקרובים

בשאלה הזאת אין לי רעיון בכלל...

 

[1ca1]

תראה שהן מסכימות על כל קטע

ומכאן, הסיגמא אלגברה שמייצרים הקטעים היא בדיוק סיגמאת אלגברה בורל, ויש איזשהו משפט בסגנון של הבנייה של קאראתיאודרי - אם הן מסכימות על היוצרים של הסיגמא אלגברה הן יסכימו עליה או משהו.

 

[הרוצה להחכים]

ועוד תורת המידה

בסעיף א הצלחתי את החלק הראשון, לא יודע איך להוכיח את השוויון ואת חלק ב.

 

[1ca1]

תשובה

אחרי שוידאת שאפשר להחליף את הסכום ואת האינטגרל (בלי ערך מוחלט), זה נובע מכך ש- sum f_n -> f נקודתית ולאחר מכן גם האינטגרלים שואפים (זה DCT או משהו) ובסה"כ תקבל שבנורמה L^1 מתקיים ש- sum f_n -> f, וזה מה שצריך להראות יחד עם אש"מ או משהו. אני בטוח שזה מופיע בפרק הראשון של רודין.
ב. אין הרבה דברים שאנחנו מכירים, אפשר לסתור בהמון דרכים, כמעט בכל מקרה שאין DCT. הכל תלוי מה התנאים המדוייקים שאתה רוצה על f.
למשל הנה דוגמא פשוטה - fn(x) תהיה 1 בין 0 ל-חצי, ומינוס 1 בין חצי ל-1.
אז Sfndx=0 ואז סכום האינטגרלים מתכנס לאפס (אבל כמובן לא בהחלט).
מצד שני, f=sum fn מתכנס לחצי אינסוף, חצי מינוס אינסוף, וזה בכלל לא אינטגרבילי.

 

[הרוצה להחכים]

תודה