תורת המידה

[הרוצה להחכים]

תורת המידה

א)הוכיחו שהאלגברה הנוצרת על ידי קבוצת כל הקבוצות החסומות ב- R היא קבוצת כל הקבוצות החסומות וכל הקבוצות בעלות משלים חסום.

הוכחתי כבר שהאלגברה הנוצרת על ידי קבוצת על הקבוצות החסומות ב- R חלקית לקבוצת כל הקבוצות החסומות וכל הקבוצות בעלות משלים חסום, אבל איך אני מוכיח את הכיוון השני של ההכלה? לא יודע...

ב)מצאו את הסיגמא אלגברה הנוצרת על ידי האלגברה מסעיף א.

תודה

 

[AnarchistPhilosopher]

האלגברה הנוצרת ע"י קבוצת כל הקבוצות החסומות מכילה

את קבוצת כל הקבוצות החסומות והקבוצות בעלות משלים חסום מההגדרה של אלגברה.
&nbsp
קח קבוצה חסומה המשלים שלה גם נמצא באלגברה הנ"ל ולכן הוא צריך להיות קבוצה חסומה.
&nbsp

 

[הרוצה להחכים]

צודק, באמת פשוט

אבל מה עם סעיף ב? יש לך מושג?

 

[1ca1]

בסיגמא-אלגברה מותר לעשות איחודים בני-מנייה

ו-R הוא מה שנקרא סיגמא-קומפקטי, אז בעצם תוכל להשיג את כל P(R).
אז יהיה B ב-P(R).
אם היא חסומה, היא מראש באלגברה, אז נניח ש-B לא חסומה.
קח קבוצה B, תחתוך אותה יחד עם קטעים [i,i+1].
כל פיסה כזו היא קבוצה חסומה ולכן באלגברה שלך.
האיחוד על כל ה-iים השלמים הוא בסיגמא-אלגברה, ושווה לקבוצה המקורית.

 

[הרוצה להחכים]

תודה לשניכם!

&nbsp
ת'אמת שחשבתי בעצמי על האופציה הזאת של P(R) zz, אבל לא הצלחתי למצוא איך לבטא כל איבר ב- P(R) zz כאיחוד בן מנייה של קבוצות חסומות...