נקח G=S5. ו-p=2
120 = 5*3*8. לכן כל תת חבורה מסדר 8 תחש חבורת 2-סילו.
נסתכל על חבורת הסימטריות של ריבוע שקודקודיו 1,2,3,4. (מה שקוראים D4).
{(P = {e, (1234), (13)(24), (1432), (24), (13), (12)(34), (14)(23
כעת ניקח H להיות תת החבורה שלא מזיזה את 3,4.
{(H = {e, (12), (15), (25), (125), (152
החיתוך P ו-H הוא רק e. אבל תת-החבורה 2-סילו של H היא מגודל 2.
אני ממליץ כמובן לפני שמנסים לעשות שאלות בשיעורי הבית, לעבור על המשפטים בקורס ואשכרה ללמוד אותם.
 
בכל אופן, משפט סילו 1 קובע שאם p^m היא חזקת ה-p הגדולה ביותר המחלקת את G, אז יש חבורת p-סילו מסדר p^m.
משפט סילו 2 קובע שכל ת"ח p-סילו צמודות זו לזו.
 
ולכן אם מצאת חבורה מסדר 8, היא חייבת להיות חבורת 2-סילו (ובד"כ החבורה ממש לא יחידה, לכן לא אומרים חבורת ה-2 סילו, אלא חבורת 2-סילו).
 
לגבי השאלה ששאלת בכותרת, את יכולה לענות על זה לבד.
משפט קיילי אומר שכל חבורה מסדר n משוכנת ב-Sn.
מה שאת שואלת הוא על חבורה מסדר 8 בתוך S5, ולכן שיכון כזה הוא לא נובע באופן טריוויאלי ממשפט קיילי.
מצד שני, D4 מוגדרת אם תרצי, דרך הפעולה שלה על הריבוע, ולכן אפשר לתאר אותה בתור סדרת פרמוטציות על 4 קודקודים (לא כל פרמוטציה, אלא פרמוטציות ספציפיות), פשוט לכתוב את סיגמא וטאו בצורת פעולה על הקודקודים ולהבין מה קורה, אם תרצי - זאת הצגת הפרמוטציה של החבורה D4.
עכשיו בגלל ש-S5 מכילה את הפרמוטציות על 5 איברים, אפשר לשכן בה פרמוטציות על 4 איברים (אם תרצי - הראנו ש-D4 משוכנת בכלל ב-S4, וישנן כמה וכמה דרכים לשכן את S4 ב-S5).
