שרשור חידות

[fibonachi]

זה שאלה מאוד מייגעת

בקומבינטוריקה כרגע אין לי זמן כל כך לפרק לכל המקרים אבל הרעיון לפרק למקרים

 

[רדינסקי]

יש לי שאלה קשה (לפחות בשבילי)

זה מהאולימפיאדה של מכון וויצמן נתון המספר 987654321. כמה זוגות מספרים תשע ספרתיים המורכבים מהספרות 1 - 9 (בלי חזרה) סכומם הוא המספר הזה? לדוגמה הזוג: 987654321 = 864197532 + 123456789 (בלי להשתמש בתוכנית מחשב כמובן) אודה לכם אם תצליחו... (אגב התשובה גדולה מ 369)

 

[shayr69]

חידה

יש 3 מיכלים של 80, 50, 30 והם מלאים בנוזל 50, 30 , 20 מיל בהתאמה אין שנתות על המיכלים ויש להגיע ל60 מיל באחדש המיכלים רק באממצעות שני מזיגות???

 

[yak141]

כולם שונאים גיאומטריה ואין חידות...

שמעתי שכולם שונאים גיאומטריה וכמו כן (לדעתי) יש מעט מדי חידות בפורום ויותר שאלות בגרות אז החלטתי לשנות את המצב... לפניכם חידה קלאסית אהובה עלי במיוחד... נתון מעגל ומרכזו מסומן. כל שביכולתכם לעשות הוא להעביר קוים ישרים בין שתי נקודות שאתם בוחרים. העבירו קווים כך שתקבלו ללא כל צל של ספק ריבוע החסום בתוך המעגל. שאלה נוספת (יותר פשוטה) הוכיחו כי במשולש ישר זוית שערכן של כל צלעותיו מספרים שלמים לפחות גודלה של צלע אחת בהכרח מתחלק בחמש וגודלו של ניצב אחד (לפחות) בהכרח מתחלק בשלוש. מי שמכיר שלא יגלה!

 

[1100F]

חידה.

נתונות שתי נקודות כלשהן, צריך למצוא את אמצע הרטע המחבר בינהן בעזרת מחוגה בלבד (בלי סרגל)

 

[ניפ]

לא יודעת בדיוק... אבל....

סכום שני המספרים האחרונים הוא 11, ואחר כך זה עולה ב-1, ככה שזה בעיה בקובמינטורקיה של סידור המספרים. אבל אין לי כוח לחשב בדיוק, עוד מעט הסדר והכל. אבל אם אמרת את הרמז שזה גדול מ369, אז אולי 370?

 

[כרומטי]

טוב....יש לי רעיון.....

מממ....ההוכחה לא שלמה מבחינה מתמטית....אבל נראה לי שזה זה.....כלומר נראה לי שהוכחתי...פשוט זה לא מסודר לגמרי בראש שלי..... פשוט תגיד לי אם אני צודק או לא P: בעזרת המחוגה נשרטט סביב נקודה אחת מעגל כך שהנקודה השניה תהיה על המעגל. וסביב הנקודה השניה נשרטט מעגל כך שהנקודה הראשונה תהיה עליו. עכשיו יש לנו 2 מעגלים שנחתכים ב-2 נקודות. סביב כל אחת מהנקודות שהמעגלים נחתכים בהם נשרטט מעגל....כך ש-2 המעגלים החדשים ישיקו אחד לשני. נקודת ההשקה היא נקודת האמצע של 2 הנקודות המקוריות. אני צודק?

 

[איגור קרסיק]

לא נראה לי

אם ניתן לשרטט מעגלים משיקים אז הפתרון הוא טריביאלי: נשרטט 2 מעגלים משיקים שמרכז כל אחד מהם הוא אחת הנקודות. נקודות ההשקה היא נקודת האמצע.

 

[כרומטי]

הא.....יצאתי אפס

אני אחשוב על זה עוד קצת.....

 

[uv1234]

נראה לי שזה ה"פתרון"...

קודם כל משרטטים את הקטע העובר דרך שתי הנקודות. אח"כ בוחרים רדיוס מחוגה שקטן מהמרחק בין הנקודות, ומשרטטים שני מעגלים ברדיוס הזה, שמרכז כל אחד מהם בכל אחת מהנקודות הנתונות. שני המעגלים נחתכים בשתי נקודות. נחבר את שתי נקודות החיתוך האלה בקטע נוסף, והחיתוך של קטע זה עם הקטע המחבר את שתי הנקודות הוא מרכז הקטע. ההוכחה הגיאומטרית פשוטה...

 

[איגור קרסיק]

חשבתי על זה, אבל הוא אמר שבלי סרגל

ואיך תחבר נקודות ללא סרגל?

 

[uv1234]

../images/Emo163.gif נחשוב על זה עוד קצת...

 

[כרומטי]

נראה לי שמצאתי פתרון....

בעיקרון...נראה לי שאפשר לבצע את הפתרון הזה בלי סרגל.... תגידו לי אם אני צודק...... סביב כל אחת מהנקודות המקוריות נשרטט מעגל כך שהנקודה השניה תהיה עליו. עכשיו קיבלנו 2 מעגלים שנחתכים ב-2 נקודות. עכשיו כאן זה הקטע שאני לא בטוח אם צריך סרגל או לא.... נשים את המחוגה על 2 הנקודות....כלומר השפיץ על נקודה אחת והעיפרון על הנקודה השניה ונזיז את המחוגה הצידה ככה שהמרכז שלה יהיה מעל אחת הנקודות המקוריות והיא תהיה מקבילה למצב שלה קודם. הניסוח קצת מסורבל..... עכשיו נסמן את הנקודה שהשפיץ נמצא עליה (נקודה "מקבילה" לאחת מנקודות החיתוך של המעגלים). נפתח את המחוגה לרדיוס של אחד המעגלים המקוריים ושרטט מעגל חדש בעל הרדיוס של אחד המעגלים המקוריים. אפשר לראות שנקודת האמצע שאנחנו מחפשים נמצאת על המעגל. קל להוכיח את זה בעזרת משפט פיתגורס. עכשיו שוב פעם: נציב את המחוגה על 2 נקודות החיתוך של המעגלים רק שאם קודם השפיץ היה על הנקודה העליונה או התחתונה עכשיו הוא יהיה על הנקודה השניה. נזיז את המחוגה בצורה מקבילה רק שהפעם לנקודה המקורית השניה. נסמן את הנקודה החדשה שהשפיץ מונח עליה ושוב נשרטט סביבה מעגל בעל רדיוס של אחד המעגלים המקוריים. עכשיו קיבלנו 2 מעגלים חדשים בעלי נקודת השקה אחת. נקודת ההשקה הזאת היא האמצע של 2 הנקודות המקוריות. האם אני צודק??? או שצריך להשתמש כאן בסרגל P: תודה

 

[freak2100]

אם אתה מניח את המחוגה

על שתי הנקודות שצריך להעביר בינהן קו ואז סוגר את המחוגה זה מצייר קו ישר, לא? זאת שיטה מתחכמת ולא מתמטית, אבל תיאורטית זה אמור לעבוד...

 

[איגור קרסיק]

פתרון לשאלה 2

נניח בשלילה ש-a,b,c לא מתחלקים ב-5 לפיכך השארית בחלוקה ב-5 של הריבוע של כל אחד מהם הוא או 1 או 4, על כן השארית בחלוקה ב-5 של a^2 + b^2 היא או 0 או 2 או 3 וזאת בסתירה למשפט פתגורס. נניח בשלילה ש-a,b לא מתחלקים ב-3, אז השארית בחלוקה ב-3 של הריבוע של כל אחד מהם היא 1, ולכן השארית של סכומם היא 2 אבל השארית של c^2 היא 1 או 0 - סתירה לפתגורס...

 

[איגור קרסיק]

נראה לי בלתי אפשרי

שהרי רק במיכל הראשון ניתן לאכסן כמות של 60 ולכן המזיגה השנייה היא עליו או ממנו, א"כ לאחר בדיקת כל האפשרויות יצא לי שהדבר איננו אפשרי.

 

[uv1234]

דווקא יש...

ממלאים את הכדים 30 ו-80. מוזגים בפעם הראשונה את כל תכולת ה-30 ל-50, ומוזגים פעם שנייה את תכולת ה-80 ל-50 עד שהוא מתמלא. לשם כך צריכים 20 ליטר, כך שבכד 80 נותרו 60 ליטרים.

 

[uv1234]

אוף, יצאתי ../images/Emo163.gif פעמיים בחמש דקות

 

[איגור קרסיק]

מה זאת אומרת ממלאים את הכדים?

הרי נתון לנו כמה מים יש בהם!

 

[איגור קרסיק]

לא שמתי לב להודעה הבאה שלך...

sorry...