שלום. מהו מספר טהור - חסר כינוי? אודה מאוד...

[learnm]

שלום. מהו מספר טהור - חסר כינוי? אודה מאוד...

למי שירשום לי תשובה מפורטת עם דוגמאות. תודה

 

[MrGreenman]

לא תשובה מפורטת אבל התחלה

מספר טהור הוא מספר שאין לו משמעות ממשית בחיים האמיתיים אלא רק על הנייר.

למשל אם ניקח את המשוואה
9+4=13
ואת המשוואה
5-12=-7

בשני המקרים (וגם במשוואות מסובכות בהרבה) מדובר במספר טהור, אבל אם נניח בעיה שקולה - לדני יש 9 תפוחים והוא קיבל עוד 4 תפוחים מרותי (או רכבת יוצאת מחיפה לכיוון ת"א או קצב דעיכה של חומר רדיואקטיבי...) עכשיו כבר לא מדובר במספרים טהורים כעת מדובר במספרים בעלי מידה (תפוחים, קמ"ש, מספר פליטות חלקיקים בשניה...).
כלומר למספר יש משמעות (משמעות פיזיקלית (מרחק, מהירות, שטף אלקטרומגנטי...) ו/או כלכלית (שקלים, דולרים, ריבית, תשואה...) ו/או דמוגרפית (גודל אוכלוסיה, תוצר לאומי גולמי לנפש, מספר קווי טלפון לכל 1000 אנשים... ו/או כל דבר אחר)

ההבדל הוא בעיקר פילוסופי אבל ברמה הפרקטית על מספרים לא טהורים יש לפעמים מגבלות שלא קיימות במספרים טהורים, למשל אין משמעות (בלי התחכמויות) למינוס שלושה תפוחים או לשורש 2 תפוחים. לא יכול להיות לחץ אוויר שלילי ואין כזה דבר מספר מדומה של אנשים וטמפרטורה לא יכולה להיות מתחת למינוס 273 מעלות צלסיוס כי זה לא ייתכן פיזיקלית...

לפעמים ניתן למצוא במשוואה אחת גם מספרים טהורים וגם מספרים בעלי מידה, למשל דני נוהג ברכבו במהירות 60 קמ"ש ויוסי נוהג במהירות כפולה ממנו כלומר 60*2 כאן למספר 60 יש יחידות (קמ"ש) ולמספר 2 אין (זהו יחס מהירויות והוא חסר מידה/חסר יחידות).

 

[עעעערררר]

תיקון קטן

למספר טהור יכולה להיות משמעות ממשית.
אפילו בהודעתך הדגמת יחס, שהוא מספר טהור ויש לו משמעות ממשית.
יחסים מופיעים בעוד הרבה תחומים - התפרקות רדיואקטיבית שציינת (לא קצבה), מבוטאת ביחס המסות. אפילו זווית היא יחס (בין הקשת לרדיוס).

 

[learnm]

תודה על התשובות. אבל מה זה אומר ברמה הכי

פשוטה? למשל בדוגמא: לרותי היו 9 תפוחים ולדני היו 4 תפוחים. בדוגמא הזאת המספרים הם לא טהורים(הכינוי הוא "תפוח"). אפשר דוגמא של בעיה(פשוטה) עם מספרים טהורים חסרי כינוי? תודה

אגב, אני יודע שהשאלה היא ממש פשוטה(הרמה שלי במתמטיקה היא נמוכה, אני מנסה רק לשנות את זה לחיוב. אני יודע שיש כאן אנשים מאוד משכילים שאולי לא יבינו מאיפה השאלות האלו נוחותות עליהם). תודה על ההבנה

 

[עעעערררר]

ובכן

בבקבוק א' יש ליטר מים, ובבקבוק ב' יש חצי ליטר חלב. שפכו לבקבוק א' שליש מתכולת בקבוק ב'. כמה אחוזי חלב יש עכשיו בבקבוק א'?

כמויות הנוזלים אמנם בליטרים, אבל שליש, וכן התשובה, הם מספרים טהורים.

 

[learnm]

ומדוע בעצם הם מספרים טהורים?

למשל תפוח ותפוז.. יש להם כינוי משותף - פירות. אותו דבר אפשר לומר על חלב ומים, אפשר למצוא להם כינוי משותף, לא כך?

 

[עעעערררר]

ודאי

אבל למה ליטר? מה רע בסמ"ק?

 

[learnm]

למה הכוונה? והתכוונתי שאם הכינוי המשותף

של תפוח ותפוז הוא פירות, אז המכנה המשותף של חלב ומים יכול להיות... משקה נוזלי!? לא?
(סורי על חוסר ההבנה בדברים הפשוטים

)

 

[MrGreenman]

לא, לא, לא...

זה לא העניין של השם, אלא העניין של המידה.
למהירות יש יחידות מידה (קמ"ש, מטר לשניה, מאך...) לנפח יש יחידות מידה (ליטר, סמ"ק, גאלון...) ללחץ יש יחידות מידה (אטמוספרה, בר, PSI, פסקל...) לטמפ' יש יחידות מידה (קלווין, צלסיוס, פרנהייט...), לזמן (שניה, שנה, שבוע), ואני יכול להמשיך עם אורך, זרם חשמלי, עוצמת קרינה, ספיקה של נוזל ועוד ועוד ועוד...
לתפוחים של רותי יש יחידות מידה (תפוחים).

למשוואה 3+5=8 אין יחידות מידה. אפשר שיהיו לה אם נניח נחבר אותה להקשר מסויים כמו למשל לרותי היו 3 תפוחים והיא קיבלה עוד 5 מהירקן ועכשיו יש לה 8, אבל גם אפשר שהיו לה 3 שקלים בחשבון בנק והמעסיק שלה שילם לה עוד 5 שקלים, או שאולי היו לה 3 ליטרים של שמן מנוע והמוסכניק מכר לה 5 נוספים או שאולי חלפו 3 שנים מאז שנכנסה למאסר ונותרו לה עוד 5 שנים מאחורי הסורגים...
ברגע שבנינו סיפור מסביב למשוואה אלו כבר לא מספרים טהורים כי הרי ברור שאם רותי כבר יושבת בכלא 3 שנים ובא המוסכניק ונותן לה 5 ליטרים של שמן מנוע לא קיבלנו כאן שום 8, לא 8 שנים ולא 8 ליטר ולא 8 תפוחים אפילו שהמשוואה 5+3=8 עדיין נכונה, היא פשוט לא רלוונטית כאן.

אגב, לא חייב להיות שכל מספרים במשוואה יהיו בעלי אותה מידה, למשל אם רכבת יצאה מחיפה במהירות 60 קמ"ש ונסעה בדיוק שעתיים היא תגיע למרחק של 120 ק"מ. 60*2=120, שעות*קמ"ש=ק"מ.

וכאמור ניתן גם שיהיו מספרים טהורים בתוך משוואה של מספרים בעלי מידה, כמעט תמיד המספרים הללו מציינים יחס בין איברים, למשל הכלב שלי שוקל 20 ק"ג ואני שוקל פי 4.
20*4=80, במקרה הזה 80 ו-20 נמדדים בק"ג ו-4 הוא חסר מידה (טהור).

 

[AnarchistPhilosopher]

זה סתם misnomer.

ראיתי כבר כאלה שכותבים (בדר"כ מהנדסים), "מספר מדומה טהור" כשהם מתכוונים ל"מספר מדומה".

 

[MrGreenman]

יש לך משהו נגד מהנדסים?

 

[AnarchistPhilosopher]

מהנדס?

 

[אפלטוניסט]

מספר חסר כינוי

אני מתפלא שעצבר לא כתב כאן עד כה ..

שאלה מעט פילוסופית לטעמי...

אם הבנתי את השאלה נכון, אז, מספר טהור הוא סמל המציין תכונה כמותית של דבר מה אבסטרקטי/ דמיוני (לעניות דעתי).

מספר כזה הוא משולל יחידות ואו מיימדים. כלומר עומד בפני עצמו ואינו מייצג אף עצם ממשי או דמיוני ( לכן אני טוען שאפשר לראות מספרים כשלעצמם כמו תכונות.. ולכל מספר יש תכונות שמייחדות רק אותו)

למשל התכונה 3 - ניצור קבוצה של כל העצמים שלהם התכונה הכמותית 3 ... נגיד איבר בקבוצה זו יהיה שקית ובה 3 לחמניות. או כל היחסים בין אורכים של פיסות עץ שמאופיינים על ידי המספר 3 או כל גדילי הדי אנ איי שלהם 3 כרומוזומים..אנא ערף
או כל מוטות הברזל שהם באורך של 3 מטר.. רק שבדוגמא זו המספר 3 מציין אורך ולכן אינו טהור

הוא יציר פרי המצאת בני האדם.

אוסיף גם כי יש למנות את התכונות בין היחסים . כלומר תכונה היא סוג של יחס(לטעמי) (עם מקום ריק אחד ) ומספרים טהורים מייצגים בין היתר כאמור תכונות ויחסים , שהם כאמור חסרי יחידות, מידה ומימד.

ולפי ההגדרה הפורמאלית לדעתי מתקבל מספר טהור בכל פעם שאתה מחלק שני מספרים שמציינים כמות של דבר מה מאותו המיימד .. או היחידות.

באותו עניין, תפוח הוא אינו יחידת מידה ולכן אני קצת מתלבט ונוטה להסכים שחיבור של 4 תפוחים ו 3 תפוחים זו תוצאה של מספר טהור כיוון שמדובר בכמות חסרת יחידות ומימד.

 

[MrGreenman]

וכי למה

ומדוע "תפוח" אינו יחידת מידה?

נכון, זו אולי לא יחידת מידה תקנית במערכת SI\MSK אבל עדיין יחידת מידה, כשם שלא ניתן לחבר 5 שניות עם 8 מטרים ולקבל 5+8=13 שנומטרים לא ניתן לחבר 3 תפחים עם 2 אגסים ולקבל 5 תפוגסים אבל ניתן לחבר 3 תפוחים עם 2 פוחים ולקבל 5 תפוחים. נכון ניתן לחבר 3 תפוחים ו-2 תפוזים ולקבל 5 פירות או 5 עצמים עגולים אבל זה קי קבענו יחס המרה בין המידות 1:1 כלומר תפוח אחד = פרי אחד (שזה אמנם חד כיווני ופתח לצרות...)

 

[learnm]

זאת אומרת שבבעיה הבאה: "היו בחדר 8 אנשים ו11

כיסאות. כמה כיסאות יותר מאנשים היו בחדר?" המספרים הם טהורים?

וכשמחברים 3 תפוחים ו-2 תפוזים בבעיה אז המספרים הם מספרים טהורים למרות שיש להם כינוי משותף?
או שאין קשר בין היותם של מספרים טהורים טהורים לבין הכינוי המשותף שלהם?

 

[אפלטוניסט]

תשובה

ובכן... תפוחים אינה יחידת מידה "קלאסית" mks מהסיבה הפשוטה שאתה לא מודד תפוחים, אתה מונה אותם .

כל דבר שניתן למנות אותו, ניחן בתכונה הכללית הנקראת כמות אשר בגינה מלכתחילה המציא האדם את המספרים, כדי לתאר אותה .

רק לאחר מכן השתמש בהם על מנת למדוד / לאמוד גדלים כאלה ואחרים.(כשדרך אגב אני עד היום שואל למה לא המציאו מספרים אחרים לשם המדידה )

כשאתה אומר 3 תפוחים אין הכוונה כי 3 היא "תכונה" שמאפיינת תפוח כלשהו.. 3 היא לא תכונה( אולי תכונה מטאפיסית) של תפוח ולא תכונה של אף חומר ...

מה שמאפשר לך לחבר בין כיסאות לאנשים (ובין כל מס' כמויות של עצמים נבדלים אך ל בהכרח) היא העובדה שגם אנשים וגם כיסאות אפשר למנות.

חיבור(או שאר פעולות חשבון ) בין מספרים שמייצגים כמויות נבדלות של עצמים שאינם מאותו הסוג, אפשרי בזכות זה שהעצמים נמצאים תחת קורת גג אחת שנקראת עצמים בני מנייה/ שניתן למנות אותם.

ובקיצור מספרים טהורים מייצגים כמות נטולת יחידות ומיימדים.

 

[אפלטוניסט]

אף על פי ש

אני סותר את עצמי בגדול משום שאני מתלבט ..

השאלה שצריכה להישאל כאן ... היא האם ברגע שאתה מייחס למספר כמות של דבר מה מוחשי או דמיוני או אבסטרקטי וכן הלאה..

באותו הרגע אתה הופך אותו ללא טהור ...

אז לדעתי מוסכם על כולם כי כאשר מספרים מציינים יחסים אזיי הם "טהורים"

אני מאמין שיוסכם גם שמספרים כשלעצמם מציינים "תכונה אבסטרקטית" ספק סמלים, של כמות ותו לא

נשאר לתת את הדעת האם מספרים שאינם מציינים דבר מה אשר לו יחידות מידה ואו ממד אך מאחוריהם עומדים עצמים מוחשיים או אבסטרקטיים אחרים כגון מטריצות או תפוחים... האם במקרה הזה

המספרים "מאבדים" את "הטוהר"

 

[learnm]

"כאשר מספרים מציינים יחסים אזיי הם טהורים"

למה הכוונה ב- "מציינים יחסים? הבנתי שמספר טהור מציין יחס!? אבל למה הכוונה בכך?

 

[learnm]

?

 

[עעעערררר]

אפשר גם לשאול כמה רגליים יש בחדר

ואז כל יחידה ב-11 שווה כפליים מיחידה ב-8.