שלום + חידה

[Johnney]

שלום + חידה

שלום לכל משתתפי הפורום!!! שמחתי לגלות את הפורום ונהנתי מהחידות. אני מצרף חידה להנאתכם: לשלושה ילדים יש שתי קופסאות ממתקים שאת תוכנן הם רוצים לחלק ביניהם באופן שווה. מספר הממתקים בקופסה הראשונה אינו מתחלק ב-3 וגם מספר הממתקים בקופסה השניה אינו מתחלק ב-3. אחד הילדים שם לב שמספר הממתקים בקופסה השניה גדול ב-7 ממספר הממתקים בקופסה הראשונה ואז הוא אומר: "אנחנו יכולים לחלק בינינו את הממתקים באופן שווה." האם הוא צודק?

 

[Angel O F life]

../images/Emo62.gif

הוא צודק... בקופסה הראשונה יש נגיד 4 ובקופסה השנייה יש 11 11+4=15 15\3=5

אין לי פשוט כח להוכיח...אבל את התשובה הבאתי

 

[Johnney]

נכון, אבל...

לפתור את החידה ע"י ניחוש שני מספרים שאינם מתחלקים ב-3 וההפרש ביניהם הוא 7 זה קל. ניתן להגיע למשואה שבעזרתה אפשר למצוא אינסוף צירופים לפיתרון. נסה להגיע למשואה!

 

[F o o B a r]

../images/Emo62.gif

הוא צודק. אם תוסיף 7 למספר מסויים, שארית החלוקה שלו ב-3 תגדל ב-1. זאת אומרת שהשארית של מספר הממתקים בקופסא השניה גדול ב-1 משל הראשונה. בגלל ששני המספרים לא מתחלקים ב-3 (נתון), האפשרות היחידה היא השאריות 1 ו-2, שצירופם הוא 3.

 

[Johnney]

תמשיך...

אם קראת את התגובה שלי לפותר הקודם אז הפתרון שלך הוא הלוגיקה לבניית המשואה...

 

[Cat Boy]

../images/Emo62.gif

אוקי, אפשר לחלק לשני מקרים: 1. נניח שבקופסה הראשונה יש 3x+1 ממתקים ובשניה יש 3x+1+7, כלומר 3x+8, וקל לראות ש: 3x+1+3x+8=6x+9, שמתחלק בשלוש כי: 6x+9=(2x+3)3. 2. נניח שבקופסה הראשונה יש 3x+2 ממתקים ובשניה יש, לכן, 3x+2+7, כלומר 3x+9, מצב שלא יכול להיות כי מספר זה מתחלק בשלוש, בסתירה לנתון כי בשתי הקופסאות מספר ממתקים שאינו מתחלק בשלוש. לכן, רק המקרה הראשון יכול להתקיים.

 

[Johnney]

הפתרון-דרך נוספת

הקופסה הראשונה יכולה להכיל (X+1) או (X+2) ממתקים והקופסה השניה יכולה להכיל (Y+1) או (Y+2) ממתקים, כאשר גם X וגם Y הם מספרים המתחלקים בשלוש. ואז אף אחת משתי הקופסאות לבדה יכולה להכיל מספר ממתקים המתחלק בשלוש. ישנן ארבע דרכים אפשריות שבהן הקופסאות הנ"ל יכולות להיות ממולאות בממתקים, ואלו הן: (X+1) ו- (Y+1) (X+2) ו- (Y+1) (X+2) ו- (Y+2) (X+1) ו- (Y+2) העובדה שבקופסה השניה יש ב-7 ממתקים יותר מאשר בקופסה הראשונה, מבוטאת באופן הבא עבור ארבעת המקרים הנ"ל: Y+1)-(X+1)=7) או Y-X=7 שזה בלתי אפשרי. Y+1)-(X+2)=7) או Y-X=8 שזה בלתי אפשרי. Y+2)-(X+2)=7) או Y-X=7 שזה בלתי אפשרי. Y+2)-(X+1)=7) או Y-X=6 שזה אפשרי כי 6 מתחלק ב-3. לכן אפשרי למלא את שתי הקופסאות בממתקים כך שהתנאים בשאלה יתמלאו. יתירה מכך, אם נזכור ש-Y תמיד גדול ב-6 מ-X, וש-X הוא תמיד מכפלה של 3, אז נוכל לחשב זוגות של ערכים עבור (X+1) ו- (Y+2). הנה כמה דרכים למלא את שתי הקופסאות בממתקים: קופסה ראשונה ... 1 ו- קופסה שניה ... 8 ... 4 ... 11 ... 7 ... 14 ... 10 ... 17 ... 13 ... 20