שורש-7

[basenew]

שורש-7

איך מוכיחים ששורש-7 הוא אי-רציונאלי?

 

[AnarchistPhilosopher]

הראית איך מוכיחים ששורש 2 הוא אי רציונלי?

 

[basenew]

הסבירו לי כך -

המספר 7 הוא ראשוני, ולכן אין הוא מחלק ב-7. אני צריך להסביר שאם הוא היה מחלק ב-7 הוא לא ראשוני והיחס שבין שבע - הראשוני - למספר שמתחלק ב-7 יוצר סתירה. עדיין לא הבנתי איך אני מוכיח

 

[AnarchistPhilosopher]

אתה מניח ששורש 7 הוא מנה של שני מספרים

טבעיים שהמחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא 1, כלומר אין להם גורמים משותפים.
עכשיו תעלה את המספר בריבוע ותקבל a^2=7b^2.
עכשיו, מזה נובע ש- a^2 מתחלק ב-7, ולכן a מתחלק ב-7 כלומר a=7m.
כעת, נעלה בריבוע ונקבל 49m^2=7b^2 נחלק ב-7 ונקבל 7m^2=b^2, כלומר גם b מתחלק ב-7, הגעת לסתירה לכך שאין ל-a ול-b גורמים משותפים.
&nbsp

 

[הפרבולה]

למה אם a^2 מתחלק ב-7, אז a מתחלק ב-7 ?

האם גם המשפט הבא נכון ?
a^2 מתחלק ב-9, אז a מתחלק ב-9

 

[AnarchistPhilosopher]

מה שרשמתי נכון מאחר ש-7 מספר ראשוני.

אם 7 מחלק את a^2 אז a^2 מתחלק ב-49 ולכן a מתחלק ב-7.
&nbsp

 

[הפרבולה]

אבל הטענה נכונה גם אם a לא בהכרח ראשוני

כלומר הטענה הבאה גם נכונה:
a^2 מתחלק ב-15, אז a מתחלק ב-15.

אבל הטענה הזאת לא נכונה :
a^2 מתחלק ב-9, אז a מתחלק ב-9

אני חושב שהנימוק "האמיתי" זה שלמספר השלם a אין שורש ריבועי שהוא גם מספר שלם ( שזה כולל כל מספר ראשוני אבל לא רק )

 

[AnarchistPhilosopher]

זה מכיוון שאתה מפרק את הגורמים של a^2.

אם a^2 מתחלק ב- p1...pn כאשר pi לא שווים, אז a מתפרק לגורמים שגם מתחלקים במכפלה הזו, אחרת a^2 לא היה מתחלק במכפלה הזו.
&nbsp
לעומת זאת אם a^2 מתחלק ב-p1^2p2...pn אז ניתן לומר שa מתחלק ב-p1p2...pn, אבל לא ניתן בהכרח לומר ש-a מתחלק ב-p1^2p2...pn אלא אם כן a הוא ריבוע בעצמו.
&nbsp