שדה בעל אופיין 2

[R136a1]

שדה בעל אופיין 2

שלום. נניח יש לי שדה עם אופיין 2. ונתון לי פולינום:
(x-1)^2
אני רוצה לדעת מה השורשים של הפולינום הזה. מצד אחד אני רוצה להגיד ש1 הוא השורש של הפולינום (איבר היחידה בשדה) מצד שני אם אנחנו הפתח את הסוגריים נקבל:
x^2-x-x+1 ומכיוון של X+X=0 אז נקבל שהפולינום הזה הוא בעצם x^2+1 אז איפה אני טועה?
תודה.

 

[עעעערררר]

אתה לא טועה

מה הבעיה?

 

[R136a1]

תודה

משהו לא מסתדר לי.
נניח יש לי פולינום
x-1)^2 -1
מה השורשים שלו? 0 ו2 או 0 בלבד?

 

[עעעערררר]

מה ההבדל?

 

[R136a1]

אוקיי...

נכון. אז אני אשאל את השאלה המקורית.
נתונה מטריצה ריבועית מסדר 2 מעל שדה F עם אופיין 2. האם המטריצה מורכבת מ4 אחדים:
1 1
1 1 לכסינה או לא? יש לה שני ערכים 0 ו2 שהוא גם 0 אבל פה יש בעיה עם הריבובים הגאומטרים.
&nbsp
תודה רבה לך.

 

[אורי769]

רק 0 הוא ע"ע מריבוי אלגברי 2

עכשיו אתה שואל האם הוא גם מריבוי גיאומטרי 2. בא נענה על זה כך... אם הוא היה מריבוי אלגברי 2 אז הצורה האלכסונית היתה
0 0
0 0
האם תוכל לציין מהן המטריצות הדומות למטריצת ה-0 הנ"ל?

 

[R136a1]

רק מטריצת האפס?

רגע.
אני רוצה להסתכל על המקרה משני הצדדים.

הבנתי שבשדה הזה שני הפולינומים:
x^2
ו
x^2-2x
זה אותו פולינום .
עכשיו אם נסתכל על הפולינום הראשון נראה שהריבוב האלגברי של 0 הוא 2 והגאומטרי הוא 1. ואז המטריצה הנתונה דומה לבלוק זורדן של 0.
1 0
0 0.

אם נסתכל לעומת זאת על הפולינום השני נראה שלכל ערך עצמי 2 ו0 יש ריבוב אלגברי 1 ולכן המטריצה לכסינה, במקרה כזה המטריצה הנתונה דומה ל
0 2
0 0
שזאת בעצם מטריצת האפס. ואז זה לא נכון?
ובעצם זה אומר שהמטריצה לא לכסינה והיא דומה לבלוק זורדן של 0?

הסתבכתי לגמרי
פעם ראשונה שאני נתקל בדבר כזה.

תודה.

 

[אורי769]

אין כאן שני פולינומים

הפולינום
x^2 - 2x
אינו פולינום מעל F, פשוט מפני שפולינום מעל F אומר שהמקדמים של הפולינום הם איברים ב-F... אבל 2 אינו איבר ב-F. ורק כדי להבהיר את הנאמר, צריך להבהיר מה זה 2: בכל שדה, כידוע יש איבר 0 ואיבר 1 ואתה בטח מכיר ומבין את המשמעות שלהם. אז 2 זה השם המקובל ל-1+1. מאחר ובשדה מאופיין 2 מתקיים ש-1+1=0 הרי שאין בשדה הזה 2.
מה שאתה עושה למעשה זה עורך חישובים ב-Q (הרציונליים) ששם יש 2. מחשב... מחשב... מחשב... ובסוף אם יוצא 2 אז אתה אומר שזה 0. ככה לא עושים חשבון. את החשבון צריך לבצע ישירות בשדה הנדון.

הפולינום האופייני של המטריצה הנתונה מעל F הוא x^2.

 

[R136a1]

אז רק כדי להיות בטוח שהבנתי

המטריצה לא לכסינה והיא דומה לבלוק זורדן של 0?
&nbsp
תודה רבה לך.

 

[אורי769]

לאיזה בלוק ג'ורדן אתה מתכוון?

המטריצה הזו דומה ל
1 0
0 0

 

[R136a1]

כן ....

זה בדיוק מה שהתכוונתי, אצלנו זה נקרא בלוק זורדן ששייך לערך עצמי 0.
&nbsp
תודה רבה לך על ההסברים ועל הסבלנות.

 

[R136a1]

אגב המרחבים העצמיים

פה בעצם יש רק אחד נכון?
(1,-1) (ספאן לו הכוונה)
&nbsp
שהוא שווה גם ל
1 1 ? כי בשדה הזה 1=1-?
&nbsp

 

[אורי769]

נכון

(1,1) הוא בסיס למרחב העצמי של ע"ע 0

 

[R136a1]

תודה