שבוע חדש, שאלות חדשות

[DadleFish]

שאלה 5

95 תלמידים מתמודדים במבחן. כל אחד מהם פותר לפחות חצי מהשאלות. הראו שיש קבוצה של 6 שאלות לכל היותר שנפתרו על ידי כל התלמידים.

 

[DadleFish]

תיקון טעות -

ניסוח מחדש של השאלה: בתחרות מתמטיקה השתתפו 95 מתחרים. כל מתחרה פתר יותר ממחצית מהשאלות בתחרות. הוכיחו כי יש קבוצה של לכל היותר 6 שאלות, כך שכל אחד מהמתחרים פתר לפחות אחת מהן.

 

[עריסטו]

הדרכה

2*2+1=5 2*5+1=11 2*11+1=23 2*23+1=47 2*47+1=95​

 

[DadleFish]

שאלה 6

עבור כמה שלשות סדורות (a,b,c) של מספרים טבעיים מתקיים :

1/a+1/b+1/c=1​

 

[nuske]

תשובה

אני לא בטוח, אבל לדעתי אין שלשה כזאת, אם תיקח את a=1 זה לא יתקיים ו a=2 זה גם לא יתקיים, כאשר a מעל 2 הסכום יהיה קטן מאחד(ניתן להוכיח), בגלל שאלו מספרים טבעיים אז a לא יכול להיות קטן מ1 כך שזה די מכסה את כל האפשרויות

 

[Renatius Cartesius]

מה עם...

zzz (3,3,3) zzz ?

 

[nuske]

הם לא עוקבים

אלו צריכים להוית מספרים עוקבים.. 1,2,3 למשל

 

[DadleFish]

מי אמר? אני לא אמרתי עוקבים.

 

[עריסטו]

הדרכה

נפתור עבור שלשות לא סדורות. נניח ללא הגבלת כלליות ש - a גדול או שווה ל - b שגדול או שווה ל - c. הגדול ביותר מבין שלושת השברים הוא לכל הפחות שליש, זאת אומרת ש - c הוא 1, 2 או 3. תבדקו מה יכולים להיות a ו- b עבור כל אחד משלושת הערכים האפשריים של c. בסוף אל תשכחו שבשאלה מדובר על שלשות סדורות, כלומר תמורות שונות של a,b,c נחשבות פתרונות שונים.

 

[Renatius Cartesius]

האם אפשר להשתמש באי-השוויון הבא:

zzz (a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)>=9 zzz ?

 

[עריסטו]

לא יודע, אבל בכל מקרה

הדרך שלי פשוטה ואינה מצריכה ידע של אי השוויון הזה.

 

[DadleFish]

שאלת בונוס

במישור נתונות n נקודות שלא כולן על ישר אחד (אבל ייתכן שחלקן כן). יש להוכיח שיש ישר אחד העובר רק דרך שתי נקודות.

 

[עריסטו]

זאת הבעיה המפורסמת של סילבסטר, לא?

 

[DadleFish]

ייתכן,

אני לא זוכר מי היה זה שניסח אותו או מי היה הראשון שפתר אותה - אני יודע שקלי פתר אותה בצורה האלגנטית שאותה אני מחפש.

 

[עריסטו]

הדרכה

מבין כל הזוגות מהצורה "ישר + נקודה שאינה על הישר" תתבוננו בזוג שבו המרחק בין הישר לנקודה מינימלי. (זה לא רעיון שלי)

 

[DadleFish]

מה יהיה?

עריסטו נותן הדרכות ואז אף אחד לא פותר? גם בשבוע שעבר, שאלה 2 "לא נפתרה". קדימה - מי פותר את 5,6 ואת הבונוס?

 

[עריסטו]

נסה להציע פרס ../images/Emo130.gif

 

[Renatius Cartesius]

../images/Emo6.gif