שאלת מתמטיקה

[three]

שאלת מתמטיקה

x^2+y=3 y^2+x=5 x=? y=? אגב, התשובות הן: x=1 y=2 השאלה שאני שואל-איך מגיעים לזה. (אני עצמי לא יודע)

 

[238]

אפשר ככה:

בס"ד

x^2+y=3 y^2+x=5 את המשוואות אפשר לכתוב גם כך: x^2+y=2+1 y^2+x=4+1 משוואה מס' 1: x^2-1=2-y (x-1)(x+1)=2-y משוואה מס' 2: 4-y^2=(x-1) נציב את (x-1) ממשוואה מס' 2 במשוואה מס' 1 (4-y^2)(x+1)=2-y לפי נוסחאות הכפל המקוצר: (2-y)(2+y)(x+1)=2-y נעביר את כל הביטויים לאותו אגף (2-y)(2+y)(x+1)-(2-y)=0 נוציא את (2-y) כגורם משותף [2-y]{(2+y)(x+1)-1}=0 מכפלה שווה ל0,כך שאו ש 2-y=0 או ש 2-y=0 ואז y=2 ןאז 4-2^2=x-1 x=1 או ש (2+y)(x+1)-1=0 ואז יש אינסוף פתרונות זהו.​

 

[טלמון סילבר]

אבל אין סוף פתרונות

נסה להראות לנו 5 פתרונות.

 

[טלמון סילבר]

תיקון: אין אינסוף פתרונות.

 

[238]

אתה צודק

בס"ד אבל אני בכלל לא התיחסתי לחיתוך של הפרבולות,אלא לעובדה שלמשוואה y+2)(x+1)-1=0 יש אינסוף פתרונות. כמובן שהם לא מתאימות לחיתוך בכלל,אבל זה ענין שולי...

 

[three]

וואו

איך לעזאזל הצלחת את זה? איך הכל הסתדר לך כ"כ יפה? וטלמון, איך אין אינסוף פתרונות?

 

[טלמון סילבר]

כי שתי פרבולות יכולות להיחתך

מקסימום ב-4 נקודות

נראה אם מישהו יצליח להציג לנו 5 פתרונות.

 

[thrall]

ככה

x^2+y=3 y^2+x=5 === x=5-y^2 ==== (5-y^2)^2+y=3 25-10y^2+y^4+y=3​

עכשיו פותרים משוואה דו-ריבועית וזהו אבל אין לי כוח

 

[טלמון סילבר]

בטח שאין לך כוח כמו ל...טרטליה ../images/Emo6.gif

 

[thrall]

???????

 

[עריסטו]

טרטליה

ניקולו פונטנה (המכונה טרטליה) היה זה שמצא נוסחה לפתרון משוואה ממעלה רביעית.

 

[טלמון סילבר]

מספר הערות

הוא מצא את הנוסחה לפתרון משוואה ממעלה שלישית. במקרה שלנו, כשכבר ידוע לנו אחד השורשים של המשואה ממעלה רביעית, אנו יכולים לעבור למשוואה ממעלה שלישית. בתחילה נקראה הנוסחה לפתרון משוואה ממעלה שלישית ע"ש מתמטיקאי איטלקי אחר - קַרדָנוֹ. אח"כ נודע(?) שהוא גנב אותה מטַרטָליָה, ומאז יש האומרים "נוסחת טרטליה", ויש האומרים "נוסחת קרדנו-טרטליה" או "נוסחת טרטליה קרדנו" מפני הספק. הנוסחה, דרך אגב, מאוד מסורבלת ובלתי נוחה לשימוש. לרוב אפילו שורשים פשוטים מתקבלים לפי נוסחה זו רק דרך הפשטת ביטויים עם מספרים מרוכבים ופונקציות טריגונומטריות. באינטרנט ישנם קישורים למכביר על Tartaglia ועל Cardano ועל הנוסחה.

 

[slallum]

אולי תראה בכל זאת?

כי אני יודע לפתור משוואה דו ריבועית רק בתור להציב את X^2 (או במקרה שלנו, את Y^2) בתור T, ואז תמיד יוצא לי AT^2+BT+C. (במקרה הזה A,B ו-C הם המקדמים כמובן), אבל הפעם אם נציב את מה שאמרתי יוצא לנו:

25-10T+T6+sqrt(T)=3​

ובאמת שאין לי מושג איך לפתור משוואות כאלה עם שורש..

 

[עריסטו]

תשובה

אם הכוונה היא למצוא פתרון כלשהו צריך לפתור משוואה ממעלה רביעית. אולי הכוונה היא למצוא פתרון במספרים שלמים? אם כן, מחסרים משוואה ממשוואה: (להתעלם מה - Z בתחילת ובסוף השורה) Z x^2-y^2+y-x=-2 Z Z (x-y)(x+y)-(x-y)=-2 Z Z (x-y)(x+y-1)=-2 Z מכיוון שהגורמים באגף השמאלי שלמים האפשרויות הן: Z x-y=-1, x+y-1=2 Z Z x-y=1, x+y-1=-2 Z Z x-y=2, x+y-1=-1 Z Z x-y=-2, x+y-1=1 Z פותרים כל אחת מארבע מערכות המשוואות ובודקים מי מהפתרונות פותר את מערכת המשוואות המקורית.

 

[Ghostmize]

אני פשוט../images/Emo27.gif

הייתי מבודד את הX, מציב במשוואה השניה שהוא בעצם בריבוע, יוצאת באמת משוואה ממעלה רביעית, יוצאים ארבעה פתרונות לy^2 y^2=4 y^2=11 מציבים את הנ"ל במשוואה המקורית בה יש y^2 ומגיעים לשני X, ומשם עוברים למשוואה השניה מציבים כל X עם כל Y שנתן אותו ורואים מה נכון, ולבסוף מגיעים שהפתרון היחיד שיוצא נכון הוא כשy=2 ו x=1

 

[טלמון סילבר]

ושלושת הפתרונות האחרים,

המתקבלים בשיטת המשיקים (ניוטון-רפטר) הם בערך:

x = -2.3913823806309 y = -2.71870969039191 x = 2.1642479384602 y = -1.683969139129225 x = -0.7728655578293 y = 2.402678829521205​

 

[עריסטו]

מי זה רפטר?

התכוונת לרפסון?

 

[טלמון סילבר]

כמובן ../images/Emo13.gif אני תמיד מתבלבל בשמות.