שאלות חדשות

[Renatius Cartesius]

בעצם..

30

 

[DadleFish]

שאלות חדשות

ושוב איתכם עם שש שאלות חדשות מהשבוע שעבר. כולי תקווה שלשם שינוי הכל ייפתר, כי בפעמיים הקודמות לא פתרתם את הכל (אם כי הייתה הדרכה של עריסטו

)

יאללה, HERE GOES.

 

[DadleFish]

../images/Emo45.gif נכון ../images/Emo13.gif

 

[DadleFish]

שאלה ראשונה

הוכיחו כי לא ניתן לרצף לוח שח באמצעות ריבוע 2x2 ו-15 צורות T בנות ארבע משבצות כל אחת.

 

[אלמוני היחידה]

הצורה T היא כמו קמץ?

 

[אלמוני היחידה]

אם כן אז-../images/Emo62.gif

משיקולי צביעה: בצורה T יש 3 משבצות בעלות אותו צבע, ו-1 שונה. מיכוון שיש מספר אי-זוגי של צורות אז בה"כ יש לפחות 2 משבצות שחורות יותר מלבנות מה לא יתכן.

 

[DadleFish]

../images/Emo45.gif יפה מאוד

 

[DadleFish]

שאלה שניה

שני שחקנים משחקים בהזזת חייל בודד על לוח nxn. בתחילת המשחק ניצב החייל בפינת הלוח. כל שחקן נדרש בתורו להזיז את החייל למשבצת סמוכה בה עדיין לא ביקר החייל. מפסיד השחקן שנבצר ממנו לבצע מהלך חוקי. לאילו ערכי n יכול השחקן הראשון להבטיח את נצחונו ולאילו ערכי n יכול השחקן השני להבטיח את נצחונו ?

 

[עריסטו]

הדרכה

כאשר n זוגי, כסו את הלוח על ידי אבני דומינו שכל אחת מהן מכסה שתי משבצות סמוכות.

 

[DadleFish]

שאלה שלישית

עבור כמה צמדים (סדורים) (a,b) של מספרים שלמים מתקיים ab+3a+6b=2007 ?

 

[wesnoth]

נראה לי..

0 צמדים.

 

[DadleFish]

../images/Emo31.gif

 

[עריסטו]

הדרכה

ab+3a+6b=2007 ab+3a+6b+18=2025 (a+6)(b+3)=2025​

 

[אלמוני היחידה]

נו כבר נתת את התשובה

a+6)(b+3)=2025=3*3*3*3*5*5) לכן ניצור את כל המכפלות כך שישארו שנימ מספרים בלבד והם 405*5 81*25 15*135 75*27 45*45 225*9 675*3 כל האפשריות כפול 2 חוץ מ 45*45 ולכן יש 13 זוגות. מקווה שלא שכחתי משהו

 

[עריסטו]

אכן שכחת משהו ../images/Emo10.gif

אפשר להביע את 2025 גם כמכפלת שני מספרים שלמים שליליים.

 

[אלמוני היחידה]

אוף אז זה...

26

 

[DadleFish]

עדיין לא מדויק.

 

[Renatius Cartesius]

אולי...

28?

 

[DadleFish]

שאלה רביעית

הוכיחו כי לכל a,b,c ממשיים חיוביים מתקיים:

(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc​

 

[עריסטו]

הדרכה

(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc (1+b/a)(1+c/b)(1+a/c)>=8​

ויש עוד דרכים