שאלה

[the man is back]

שאלה

מה הנוסחה לחישוב סכום של הסידרה: ...4^2+3^2+2^2+2

 

[טלמון סילבר]

מה הסדרה?

 

[the man is back]

זה:

2^n+2^(n+1)+2^(n+2)....a^m n=1

 

[the man is back]

תיקון:

n+2^(n+1)+2^(n+2)....a^m

 

[the man is back]

עוד תיקון

2^(n+1)+2^(n+2)....a^m

 

[the man is back]

די כבר! מב קורה לי היום עם ההקלדה

1+2^n+2^(n+1)+2^(n+2)...a^m n=1

 

[טלמון סילבר]

נסה ללחוץ על "תחילת קוד" (מתחת

לתיבת ההודעה), ואז להקליד בניחותא משמאל לימין. או לחכות שיבוא מישהו לא קשה-תפיסה כמוני.

 

[the man is back]

אז ככה

2^0+2^1+2^3+2^4....+2^n=S צריך נוסחה!!!​

 

[טלמון סילבר]

אם הבנתי למה הכוונה, אז

2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + . . . + 2^n = 2^(n+1) - 1​

וקוראים לזה טור הנדסי. צריך גם את ההוכחה?

 

[the man is back]

הוכחה בבקשה

תודה על הנוסחה עכשיו אתה יכול להוכיח לי אותה???

 

[the man is back]

מתעלמים ממני

 

[NightMaster]

תנסה להוכיח

תנסה להוכיח בעצמך באינדוקציה...

 

[טלמון סילבר]

הוכחה.

בעיקרון, יתנו לך את זה בביה"ס כשתגיעו לזה. ובכן:

S = 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2^(n-1) + 2^n 2S = 2 + 4 + 8 + . . . + 2^n + 2^(n+1)​

ניקח את ההפרש ביניהם, וכמעט הכל מצטמצם:

2S - S = 2^(n+1) - 1 S = 2^(n+1) - 1​

במקרה הכללי: לסדרת מספרים כלשהי, בה כל איבר (מספר) שווה למספר הקודם של הסדרה כפול איזשהו מכפיל קבוע, קוראים סדרה הנדסית, גאומטרית בלע"ז נפוץ ומקובל. אם את מספר הראשון בסדרה, את השני, את השלישי, וכו´, את ה-n-י, נסמן כך:

a(1), a(2), a(3), . . . , a​

(ובכתב יד מסמנים את המספר הסידורי בלי סוגריים, אבל קטנצ´יק ונמוך יותר), אז:

a(2) = a(1) * q a(3) = a(2) * q a(4) = a(3) * q . . . a(n+1) = a * q​

כאשר q הוא המכפיל הקבוע של הסדרה. למשל:

2, 6, 18, 54, 162, . . . a(1) = 2 q = 3 6, 2, 2/3, 2/9, 2/27, 2/81, . . . a(1) = 6 q = 1/3​

עבור כל סדרה הנדסית:

a = a(1) * q^(n-1) a(n+m) = a * q^m = a(m) * q^n​

וכאשר נתונה סדרה הנדסית כלשהי, אז אם נתחיל אותה מאיזשהו מקום מהאמצע, זו גם כן תהיה סדרה הנדסית (עם אותו המכפיל הקבוע, רק (a(1 אחר). ועוד אפשר למצוא כל מיני תכונות פשוטות של סדרה הנדסית. כמו כל סדרת מספרים, גם סדרה הנדסית נותנת לנו סדרה מעניינת נוספת, שהיא: סכום האברים הראשונים.

S(1) = a(1) S(2) = a(1) + a(2) S(3) = a(1) + a(2) + a(3) . . . S = a(1) + a(2) + a(3) + . . . +a​

לסדרה הזאת (של סכומי האברים הראשונים של סדרה הנדסית) קוראים טור הנדסי. הנוסחה לחישובו מתקבלת באותה דרך. נניח שהמכפיל הקבוע q שונה מ-1 (בעיקרון הוא יכול להיות גם שווה ל-1, ואז כל האברים שווים ביניהם, אבל אז זה לא מעניין). ובכן:

S = a(1) + a(2) + a(3) + . . . + a(n-1) + a q*S = q*a(1) + q*a(2) + q*a(3) + . . . + q*a(n-1) + q*a q*S = a(2) + a(3) + a(4) + . . . + a + a(n+1) q*S - S = a(n+1) - a(1) (q - 1)*S = a(n+1) - a(1) S = [ a(n+1) - a(1) ] / (q - 1) S = [ a(1)*q^n - a(1) ] / (q - 1) S = a(1) * ( q^n - 1) / (q -1)​

דוגמה נוספת:

S(n+1) = a^n + a^(n-1)*b + a^(n-2)*b^2 + . . . + a^2*b^(n-2) + a*b^(n-1) + b^n​

מהווה למעשה טור הנדסי (נניח ש-a לא שווה 0):

a(1) = a^n q = b/a S(n+1) = a(1) * (q^(n+1) - 1) / (q - 1) S(n+1) = a^n * (b^(n+1) - 1) / (b/a - 1) S(n+1) = [ b^(n+1) - a^(n+1) ] / (b - a) [ a^n + a^(n-1)*b + a^(n-2)*b^2 + . . . + a^2*b^(n-2) + a*b^(n-1) + b^n ] * (b - a) = b^(n+1) - a^(n+1) (a + b)(b - a) = b^2 - a^2 (a^2 + ab + b^2)(b - a) = b^3 - a^3 (a^3 + a^2*b + a*b^2 + b^3)(b - a) = b^4 - a^4 (a^4 + a^3*b + a^2*b*2 + a*b^3 + b^4)(b - a) = b^5 - a^5​