שאלה

[evbi]

שאלה

אשמח לכיוון לשאלה המצורפת. האנרגיה הקינטית של מוט לאחר התנגשו m v^2 / 2 + 1/2 I w^2 אבל איך אני מחשב את המהירות הזוויתית של מוט לאחר הפעלה הקפיץ ? לא נתנו נתונים לגבי הקפיץ ולכן אי אפשר להשתמש בשימור אנרגיה (להשוות אנרגיה לפני הפעלת הקפיץ ואחרי הפעלת הקפיץ). בעזרת שימור תנע ותנע זוויתי מתקבלות מסקנות טריוויאליות : מהירויות מרכז מסה של שתי המוטות הפוכות בכיוון ומהירויות זוויתיות הפוכות בכיוון.

 

[johngalt2]

אהלן,

אמנם עבר קצת זמן מאז שלקחתי פיזיקה 1, אבל: הטעות שלך היא להניח שמשימור תנע זוויתי מתקבלת מסקנה טריוויאלית. מה שקורה זה שבמערכת שראשית הצירים שלה נמצאת איפה שהקפיץ, והמוטות נמצאים בה במנוחה לפני שיחרור הקפיץ, מתחילים מתנע קווי אפס, תנע זוויתי אפס ואנרגיה פוטנציאלית של הקפיץ בלבד. תנע זוויתי ותנע קווי נשמרים, ואנו מניחים שאנרגיה נשמרת, ולכן אנו צריכים להשוות את האנרגיה לאנרגיה הפוט' של הקפיץ, ואת התנעים הזוויתיים והקוויים לאפס. זה שהתנע הקווי שווה לאפס זה ברור. עכשיו לגבי התנע הזוויתי: תזכור שתנ"ז של גוף קשיח הוא סכום של שני איברים: התנע הזוויתי של תנועת מרכז המסה ביחס לראשית הצירים (J_cm) והתנע הזוויתי של הסיבוב סביב מרכז המסה (J_0). במקרה הזה, את J_cm של שני הגופים אין בעיה למצוא: זה MLv/2 בכיוון z חיובי. אבל התנע הכולל חייב להיות אפס, נכון? זה אומר ש- J_0 של כל אחד מהגופים חייב לאזן אותו בדיוק. מטעמי סימטריה אנו יכולים להניח שלשני הגופים אותו J_0, ושהוא שווה ל- MLv/2-. לכן האנרגיה הקינטית הסיבובית: T = J^2/2I יוצאת לכל אחד מהגופים (אם לא טעיתי בחשבון) 3Mv^2, ומכאן שסה"כ האנרגיה הקינטית הוא 7Mv^2.

 

[evbi]

תודה על התגובה. יצא לי 4MV^2

צירפתי חישוב. כדי להסביר ששתי התנעים הזוויתיים שווים לאחר הפעלת הקפיץ כתבתי "משיקולי סימטריה". אבל בעצם זה לא מובן לי. המחובר השני ב- J_cm + R_cm x M V_cm שווה לשתי המוטות, והראשון שווה רק אם המהירויות הזוויתיות שוות. עובדה זו ברורה אינטואיטיבית אבל לא הצלחתי להוכיח זאת מתמטית. בנוסף זה מנוצל בחישוב האנרגיות הקינטיות, תודות לזה שתי האנרגיות הקינטיות שוות.

 

[johngalt2]

כמה דברים

דבר ראשון אתה לא צריך להשתמש פה במכפלות וקטוריות, כי התנע הזוויתי ממילא תמיד בכיוון z. דבר שני: אני לא בטוח שהבנת בדיוק למה התכוונתי. לכל מוט בנפרד יש תנע זוויתי משלו, שיש לו שני מרכיבים: MR_cm X V_cm ו- J_cm. את MR_cm X V_cm של כל מוט בנפרד אנחנו יודעים, כי הוא נתון לנו. אנחנו גם יודעים שהתנע הזוויתי הכולל של שני הגופים הוא הסכום של התנ"ז של כל אחד מהם, והוא שווה לאפס. מעבר לכך, ה- MR_cm X V_cm של *שני* הגופים הוא בכיוון z חיובי, וזה היה המפתח לפתרון של השאלה. כי אם הוא בכיוון z חיובי, זה אומר שחייב להיות משהו שמאזן אותו. המשוואה של התנ"ז נותנת: J_cm1+J_cm2 = -2MR_cm X V_cm. (כאשר ברור מה זה 1 ו- 2). עכשיו רק נשאלת השאלה איך התנ"ז מתחלק בין J_cm1 ו- J_cm2. וכאן נכנסים שיקולי הסימטריה: מכיוון שהמערכת סימטרית לשיקוף סביב ציר y, אין שום סיבה לומר שלאחד מהם יהיה יותר J_cm מלשני. לכן J_cm1 = J_cm2 = -(MR_cm X V_cm)/2. האנרגיה הקינטית של כל אחד מהגופים במערכת הזו היא MV^2/2 + J_0^2/2I + J_cm^2/2I (I זה מומנט האינרציה, ו- J_0 = MR_cm X V_cm. הכוונה היא כמובן לאורך של הוקטור בריבוע). מכאן אתה יכול לחשב את האנרגיה הקינטית הכוללת.