שאלה קשה בלנים
- פותח הנושא Soak
- פורסם בתאריך
יש לשים לב לפרט קטן
כאשר ניגשים למציאת תחומי העליה והירידה: אם b הוא 3, תחום הפונקציה הוא קבוצת הממשיים החיוביים. אם b הוא 3-, תחום הפונקציה הוא קבוצת הממשיים השליליים. אמנם היה אפשר להתעלם מהבדל זה עד עתה, מכיוון שהביטויים עבור האסימפטוטה, הישר, ונקודת הקיצון היו תלויים בערכו של b באופן טבעי, ולא היה צורך להפריד למקרים לפי סימנו. אבל חובה לקבוע את תחום הפונקציה לפני שקובעים את תחומי העליה והירידה, שהם קבוצות חלקיות לתחום. יובל.
כאשר ניגשים למציאת תחומי העליה והירידה: אם b הוא 3, תחום הפונקציה הוא קבוצת הממשיים החיוביים. אם b הוא 3-, תחום הפונקציה הוא קבוצת הממשיים השליליים. אמנם היה אפשר להתעלם מהבדל זה עד עתה, מכיוון שהביטויים עבור האסימפטוטה, הישר, ונקודת הקיצון היו תלויים בערכו של b באופן טבעי, ולא היה צורך להפריד למקרים לפי סימנו. אבל חובה לקבוע את תחום הפונקציה לפני שקובעים את תחומי העליה והירידה, שהם קבוצות חלקיות לתחום. יובל.
ועוד פרט לשים לב אליו...
יש לשים לב לעוד פרט בפיתרון של arcsinus . זה לא נכון שבנקודה בה המכנה מתאפס והפונקציה איננה מוגדרת יש אסימפטוטה אנכית. זה אומנם עבד בתרגיל הזה, אבל יש הרבה דוגמאות לפונקציות שזה לא נכון עבורן. אני אתן כרגע שתי דוגמאות : (y = lnx / (x-1 y = sqr(x-2) / lnx (במונה : שורש של x מינוס 2 , במכנה : לן של x ) בשתיהן המכנה מתאפס עבור x=1 , אך x = 1 איננה אסימפטוטה אנכית באף אחת מהן ! הדרך למצוא אסימפטוטות כאלה בפונקציות לוגריתמיות היא : או על-ידי חישוב הגבול (נתתי בהדרכה שלי את הגבול) או על ידי שימוש ברשימת משפטונים שנלמדים בדרך כלל בתיכון (ניתן לראות חלק מהם בתשובה שנתתי ל ZIV17 ). ל soak : אינני יודע אם שאלת את השאלה כחלק מהכנה לבגרות, אבל אם כן – אז צריך להיזהר כפל כפליים בעניין זה. זאת משום שבשנים האחרונות הגיע הפיקוח למתמטיקה למסקנה שתלמידים רבים מוצאים אסימפטוטה אנכית על ידי השוואה "עיוורת" של המכנה לאפס, כמו שדיברנו עכשו. מאז התחילו לתת תרגילים שמי שיעשה כך פשוט יפול בפיתרון. אם אתה מעוניין לבדוק את עצמך בעניין זה נסה לפתור את חורף תשנ"ט שאלה 5 ואת חורף תשנ"ד שאלה 5 .
רון חשבון α•βƒ²(Δ)³+πº∑Ǿ ℓim(x→∞)ε∫¼±
יש לשים לב לעוד פרט בפיתרון של arcsinus . זה לא נכון שבנקודה בה המכנה מתאפס והפונקציה איננה מוגדרת יש אסימפטוטה אנכית. זה אומנם עבד בתרגיל הזה, אבל יש הרבה דוגמאות לפונקציות שזה לא נכון עבורן. אני אתן כרגע שתי דוגמאות : (y = lnx / (x-1 y = sqr(x-2) / lnx (במונה : שורש של x מינוס 2 , במכנה : לן של x ) בשתיהן המכנה מתאפס עבור x=1 , אך x = 1 איננה אסימפטוטה אנכית באף אחת מהן ! הדרך למצוא אסימפטוטות כאלה בפונקציות לוגריתמיות היא : או על-ידי חישוב הגבול (נתתי בהדרכה שלי את הגבול) או על ידי שימוש ברשימת משפטונים שנלמדים בדרך כלל בתיכון (ניתן לראות חלק מהם בתשובה שנתתי ל ZIV17 ). ל soak : אינני יודע אם שאלת את השאלה כחלק מהכנה לבגרות, אבל אם כן – אז צריך להיזהר כפל כפליים בעניין זה. זאת משום שבשנים האחרונות הגיע הפיקוח למתמטיקה למסקנה שתלמידים רבים מוצאים אסימפטוטה אנכית על ידי השוואה "עיוורת" של המכנה לאפס, כמו שדיברנו עכשו. מאז התחילו לתת תרגילים שמי שיעשה כך פשוט יפול בפיתרון. אם אתה מעוניין לבדוק את עצמך בעניין זה נסה לפתור את חורף תשנ"ט שאלה 5 ואת חורף תשנ"ד שאלה 5 .
אסימפטוטות אנכיות
בכל השאלות שאני ראיתי, מציאת אסימפטוטות אנכיות זהה למציאת נקודות שבהן המכנה מתאפס והמונה לא (כלומר המונה *מוגדר* ושונה מאפס). לפי משפטים אלמנטריים על גבולות, זו אכן מהווה אסימפטוטה אנכית, תמיד. האם קיימת דוגמא לפונקציה אלמנטרית (בעלת הצגה עם פולינומים, פ´ מעריכיות, לוריתמיות, טריגונומטריות, טריגו-הפוכות, וחיבור, וכפל הרכבה של אלה), שיש בה אסימפטוטה אנכית שהיא לא נקודה שבה המכנה מתאפס והמונה לא?
בכל השאלות שאני ראיתי, מציאת אסימפטוטות אנכיות זהה למציאת נקודות שבהן המכנה מתאפס והמונה לא (כלומר המונה *מוגדר* ושונה מאפס). לפי משפטים אלמנטריים על גבולות, זו אכן מהווה אסימפטוטה אנכית, תמיד. האם קיימת דוגמא לפונקציה אלמנטרית (בעלת הצגה עם פולינומים, פ´ מעריכיות, לוריתמיות, טריגונומטריות, טריגו-הפוכות, וחיבור, וכפל הרכבה של אלה), שיש בה אסימפטוטה אנכית שהיא לא נקודה שבה המכנה מתאפס והמונה לא?
ליונתן
בוא נדייק קצת, ואז נוכל לתת את ההכללה שביקשת. אם קיים מספר c אשר מאפס את המכנה, אך איננו מאפס את המונה, ואם הפונקציה מוגדרת בסביבה {} של c זה, אזי קיימת אסימפטוטה אנכית x=c . שים לב שבדוגמה השנייה שנתתי , x=1 איננו מאפס את המונה, אך הפונקציה כלל איננה מוגדרת שם, ולכן אין אסימפטוטה ב x=1 . בנוסף, צריך לזכור שההפך איננו נכון. יתכן ש x מסויים מאפס גם את המונה וגם את המכנה, ויש שם אסימפטוטה אנכית (האם תוכל לתת דוגמה כזו ?)
רון חשבון α•βƒ²(Δ)³+πº∑Ǿ ℓim(x→∞)ε∫¼±
בוא נדייק קצת, ואז נוכל לתת את ההכללה שביקשת. אם קיים מספר c אשר מאפס את המכנה, אך איננו מאפס את המונה, ואם הפונקציה מוגדרת בסביבה {} של c זה, אזי קיימת אסימפטוטה אנכית x=c . שים לב שבדוגמה השנייה שנתתי , x=1 איננו מאפס את המונה, אך הפונקציה כלל איננה מוגדרת שם, ולכן אין אסימפטוטה ב x=1 . בנוסף, צריך לזכור שההפך איננו נכון. יתכן ש x מסויים מאפס גם את המונה וגם את המכנה, ויש שם אסימפטוטה אנכית (האם תוכל לתת דוגמה כזו ?)
רון, בלי התנשאות בבקשה...
אולי לא התכוונת להתנשא אבל כאשר אני שואל במפורש האם יש דוגמא כזו ואתה עונה לי בניסוח מחדש של השאלה, ואתה אומר "האם תוכל לתת דוגמא כזאת", זה נראה לי כמו סוג של התנשאות. אבל לא נריב. בינתיים הצלחתי לחשוב על דוגמא כזאת. למרות שאני רק נכנס מזה להרהורים בהתייחסות הכללית לנוסחאות של פונקציות כאל תיאור מלא של הפונקציה... והאם אי אפשר להתייחס ל"צמצום מלא" של צורה נוסחתית של פונקציה...
אולי לא התכוונת להתנשא אבל כאשר אני שואל במפורש האם יש דוגמא כזו ואתה עונה לי בניסוח מחדש של השאלה, ואתה אומר "האם תוכל לתת דוגמא כזאת", זה נראה לי כמו סוג של התנשאות. אבל לא נריב. בינתיים הצלחתי לחשוב על דוגמא כזאת. למרות שאני רק נכנס מזה להרהורים בהתייחסות הכללית לנוסחאות של פונקציות כאל תיאור מלא של הפונקציה... והאם אי אפשר להתייחס ל"צמצום מלא" של צורה נוסחתית של פונקציה...
ליונתן
אני מבין מהודעתך שאחרי יומיים-שלושה בפורום החלטת כבר לנהל פה את העניינים ולהחליט איך אנשים ידברו כאן , ומה זו התנשאות. להזכירך יש כאן מנהל פורום שעושה את העבודה הזו, ואתה מוזמן לפנות אליו אם אתה רוצה להצטרף כעוזר שלו. בינתיים תמשיך לעסוק במה שאתה יודע לעשות כל כך טוב, וזה במחשבות המתמטיות שלך (באופן אישי מאוד נהניתי לקרוא את ההודעות שלך עד להערה האומללה האחרונה). אם היית קצת קצת מכין שיעורי בית לפני שלחצת על "שלח" , וקורא קצת מה שכתבתי אפילו ביממה האחרונה בפורום "מתמטיקה" ופורום "לימודים ושיעורי בית", היית מבין אולי שאתה פונה לאדם, שלא רק שהתנשאות רחוקה ממנו קילומטרים, אלא שמטרתו היחידה היא לעזור ולסייע מתוך כבוד והקשבה. למקרה שלא טרחת לעיין בכרטיס האישי שלי, אני מתמטיקאי, מורה ומרצה, שיושב כאן שעות כל יום על חשבון זמנו הפרטי, ועוזר לאנשים בלימודים, בבעיות ובשאלות. אני לא נמצא פה מתוך שיעמום. כל אנשי המקצוע שמכירים אותי טוענים שאני פשוט משוגע על מה שאני עושה כאן בפורומים (ולאחרונה נראה לי שיש בזה משהו...) אדם מתנשא הוא אחד שהיה מספר כאן בפורום איזה הצעות עבודה ובאיזה פרוייקטים הוא משתתף, איזה פרופסורים באים להתייעץ איתו – אני רחוק מהסיפורים האלה, ותאמין לי שרוב האנשים כאן לא יודעים קמצוץ ממי האדם שעונה להם פה. יכולתי לקבל לכל שעה סכומי כסף שאתה לא מדמיין, אבל אני משתתף בתשעה פורומים בהתנדבות ומעדיף לקבל את ה"תודה" מהאדם, או לדעת שעזרתי למישהו בבעיה שהיתה לו. אינני יודע מה הפריע לך בתשובה שלי, אבל אודה לך אם לא תשפוט כאן אנשים והתנהגויות. האם זכור לך שהערתי לך משהו על כך שביום הראשון או השני שלך בפורום (ב 21/5 בשעה 11.22 ) כתבת אחרי תשובה שלי "רון צודק" ? האם טענתי שאתה מתנשא בזה שאתה חוזר סתם על תשובתי שאולי זקוקה לאישורך ? האם מישהו פה העיר לך משהו על כך שבאותו יום שלחת הודעה שכותרתה "לא נכון" בהחלטיות למרות שלפניך כתבו דברים שונים ? ובסך הכל הבעת דיעה אישית ? המשך לעשות חיל בהודעות שאתה שולח בתחום המתמטיקה, ואנא דאג להתייחס לשאר כאן באותו כבוד שאתה רוצה שיתייחסו אליך.
אני מבין מהודעתך שאחרי יומיים-שלושה בפורום החלטת כבר לנהל פה את העניינים ולהחליט איך אנשים ידברו כאן , ומה זו התנשאות. להזכירך יש כאן מנהל פורום שעושה את העבודה הזו, ואתה מוזמן לפנות אליו אם אתה רוצה להצטרף כעוזר שלו. בינתיים תמשיך לעסוק במה שאתה יודע לעשות כל כך טוב, וזה במחשבות המתמטיות שלך (באופן אישי מאוד נהניתי לקרוא את ההודעות שלך עד להערה האומללה האחרונה). אם היית קצת קצת מכין שיעורי בית לפני שלחצת על "שלח" , וקורא קצת מה שכתבתי אפילו ביממה האחרונה בפורום "מתמטיקה" ופורום "לימודים ושיעורי בית", היית מבין אולי שאתה פונה לאדם, שלא רק שהתנשאות רחוקה ממנו קילומטרים, אלא שמטרתו היחידה היא לעזור ולסייע מתוך כבוד והקשבה. למקרה שלא טרחת לעיין בכרטיס האישי שלי, אני מתמטיקאי, מורה ומרצה, שיושב כאן שעות כל יום על חשבון זמנו הפרטי, ועוזר לאנשים בלימודים, בבעיות ובשאלות. אני לא נמצא פה מתוך שיעמום. כל אנשי המקצוע שמכירים אותי טוענים שאני פשוט משוגע על מה שאני עושה כאן בפורומים (ולאחרונה נראה לי שיש בזה משהו...) אדם מתנשא הוא אחד שהיה מספר כאן בפורום איזה הצעות עבודה ובאיזה פרוייקטים הוא משתתף, איזה פרופסורים באים להתייעץ איתו – אני רחוק מהסיפורים האלה, ותאמין לי שרוב האנשים כאן לא יודעים קמצוץ ממי האדם שעונה להם פה. יכולתי לקבל לכל שעה סכומי כסף שאתה לא מדמיין, אבל אני משתתף בתשעה פורומים בהתנדבות ומעדיף לקבל את ה"תודה" מהאדם, או לדעת שעזרתי למישהו בבעיה שהיתה לו. אינני יודע מה הפריע לך בתשובה שלי, אבל אודה לך אם לא תשפוט כאן אנשים והתנהגויות. האם זכור לך שהערתי לך משהו על כך שביום הראשון או השני שלך בפורום (ב 21/5 בשעה 11.22 ) כתבת אחרי תשובה שלי "רון צודק" ? האם טענתי שאתה מתנשא בזה שאתה חוזר סתם על תשובתי שאולי זקוקה לאישורך ? האם מישהו פה העיר לך משהו על כך שבאותו יום שלחת הודעה שכותרתה "לא נכון" בהחלטיות למרות שלפניך כתבו דברים שונים ? ובסך הכל הבעת דיעה אישית ? המשך לעשות חיל בהודעות שאתה שולח בתחום המתמטיקה, ואנא דאג להתייחס לשאר כאן באותו כבוד שאתה רוצה שיתייחסו אליך.
סליחה
טוב, ראשית, נכון, אני לא מכיר אותך, ונכון לא ישבתי וקראתי את כל ההודעות שלך, ולא למדתי להכיר את האופי שלך והייתי מהיר-שיפוט כי מה שאמרת נשמע לי כמו התנשאות. טעיתי. סליחה. לגבי ההערות שלי "רון צודק" ו"לא נכון", הן נבעו מאיזשהו פרץ אגוטריפ שעבר עליי, ומההתלהבות שלי מפתיחת הפורום הזה, שתועלה בצורה לא טובה לתוך הרצון שלי להגיב על כל דבר, גם אם לא היה לי משהו לומר... אני מתנצל גם על זה. ואני מקווה להתכתבות פוריה שתהיה לנו יחד בפורום הזה, בלי ריבים וויכוחים על דברים שלא ממין העניין. ושוב סליחה. - יונתן.
טוב, ראשית, נכון, אני לא מכיר אותך, ונכון לא ישבתי וקראתי את כל ההודעות שלך, ולא למדתי להכיר את האופי שלך והייתי מהיר-שיפוט כי מה שאמרת נשמע לי כמו התנשאות. טעיתי. סליחה. לגבי ההערות שלי "רון צודק" ו"לא נכון", הן נבעו מאיזשהו פרץ אגוטריפ שעבר עליי, ומההתלהבות שלי מפתיחת הפורום הזה, שתועלה בצורה לא טובה לתוך הרצון שלי להגיב על כל דבר, גם אם לא היה לי משהו לומר... אני מתנצל גם על זה. ואני מקווה להתכתבות פוריה שתהיה לנו יחד בפורום הזה, בלי ריבים וויכוחים על דברים שלא ממין העניין. ושוב סליחה. - יונתן.
ועכשו לעצם התשובה לשאלתך...
נחזור עכשו לענייני מתמטיקה... התשובה שנתתי איננה ניסוח מחדש של שאלתך , כי כפי שהסברתי הטענה שלך איננה נכונה. טענת ש"מציאת אסימפטוטות זהה למציאת נקודות שבהן המכנה מתאפס והמונה לא מתאפס" (ושהוא מוגדר שם). תשובתי היתה שזה לא תמיד כך – יתכן שתהיה אסימפטוטה אנכית, למרות שגם המונה וגם המכנה יתאפסו ! ביקשתי ממך דוגמה לכך, ואני אתן כאן אחת: y שווה ל x³+2x חלקי x² . ב x=0 המכנה מתאפס אבל גם המונה מתאפס, וקיימת בכל זאת אסימפטוטה אנכית x=0 ! שאלת בנוסף : "האם יש דוגמה לאסימפטוטה אנכית שהיא לא נקודה שבה המכנה מתאפס והמונה לא" – התשובה היא שיש הרבה דוגמאות, כמו זו שכרגע הזכרתי ! עכשו אני רוצה לשאול אותך (וסליחה אם זה נשמע כמו התנשאות) : האם תשובתי ברורה לך ?
רון חשבון α•βƒ²(Δ)³+πº∑Ǿ ℓim(x→∞)ε∫¼±
נחזור עכשו לענייני מתמטיקה... התשובה שנתתי איננה ניסוח מחדש של שאלתך , כי כפי שהסברתי הטענה שלך איננה נכונה. טענת ש"מציאת אסימפטוטות זהה למציאת נקודות שבהן המכנה מתאפס והמונה לא מתאפס" (ושהוא מוגדר שם). תשובתי היתה שזה לא תמיד כך – יתכן שתהיה אסימפטוטה אנכית, למרות שגם המונה וגם המכנה יתאפסו ! ביקשתי ממך דוגמה לכך, ואני אתן כאן אחת: y שווה ל x³+2x חלקי x² . ב x=0 המכנה מתאפס אבל גם המונה מתאפס, וקיימת בכל זאת אסימפטוטה אנכית x=0 ! שאלת בנוסף : "האם יש דוגמה לאסימפטוטה אנכית שהיא לא נקודה שבה המכנה מתאפס והמונה לא" – התשובה היא שיש הרבה דוגמאות, כמו זו שכרגע הזכרתי ! עכשו אני רוצה לשאול אותך (וסליחה אם זה נשמע כמו התנשאות) : האם תשובתי ברורה לך ?
כן...
לא ניסחתי את עצמי בבירור.... הכוונה שלי הייתה שהכיוון הזה, של מכנה מתאפס והמונה שונה מאפס גורר שיש שם אסימפטוטה אנכית הוא הנכון, בכל השאלות שראיתי אבל, כן, נכון גם להעיר שהפונקציה צריכה להיות מוגדרת בסביבה של הנקודה. אגב, מכנה מתאפס ומונה שונה מאפס אומר, לפי הניסוח שלי, ששניהם מוגדרים. וכן, חשבתי על משהו דומה לדוגמא שלך... בעצם, אם יש לנו פונקציה מהצורה f/g שבנקודה a יש לה אסימפטוטה אנכית כי g מתאפסת ו-f לא, אז כאשר נכפיל גם את המונה וגם את המכנה בתבנית (x-a) נקבל את אותה פונקציה בדיוק בהצגה שבה גם המונה וגם המכנה מתאפסים. השאלה היא האם אפשר לדבר על פונקציה מצומצמת לגמרי (אני חושב שאפשר...) ואז לכל פונקציה רציונלית מצומצמת לגמרי יהיה אפשר לעשות את ההכללה הזאת... בפונקציות רציונליות (פולינום חלקי פולינום), גם אין מצב של פונקציה שלא מוגדרת בנקודה וגם לא מוגדרת בסביבה של הנקודה... אז בכלל סבבה לנו
לא ניסחתי את עצמי בבירור.... הכוונה שלי הייתה שהכיוון הזה, של מכנה מתאפס והמונה שונה מאפס גורר שיש שם אסימפטוטה אנכית הוא הנכון, בכל השאלות שראיתי אבל, כן, נכון גם להעיר שהפונקציה צריכה להיות מוגדרת בסביבה של הנקודה. אגב, מכנה מתאפס ומונה שונה מאפס אומר, לפי הניסוח שלי, ששניהם מוגדרים. וכן, חשבתי על משהו דומה לדוגמא שלך... בעצם, אם יש לנו פונקציה מהצורה f/g שבנקודה a יש לה אסימפטוטה אנכית כי g מתאפסת ו-f לא, אז כאשר נכפיל גם את המונה וגם את המכנה בתבנית (x-a) נקבל את אותה פונקציה בדיוק בהצגה שבה גם המונה וגם המכנה מתאפסים. השאלה היא האם אפשר לדבר על פונקציה מצומצמת לגמרי (אני חושב שאפשר...) ואז לכל פונקציה רציונלית מצומצמת לגמרי יהיה אפשר לעשות את ההכללה הזאת... בפונקציות רציונליות (פולינום חלקי פולינום), גם אין מצב של פונקציה שלא מוגדרת בנקודה וגם לא מוגדרת בסביבה של הנקודה... אז בכלל סבבה לנו
"פונקציה מצומצמת"
אני מסכים איתך לגמרי שבפונקציות המכילות רק פולינומים, אפשר לדבר על "פונקציה מצומצמת למקסימום", ואז המשפט שנתת הוא נכון. אני אפילו אוסיף על מה שאמרת : אני תמיד אומר לתלמידים שלי לבצע את כל חקירת הפונקציה הזו (נקודות קיצון, עליה וירידה...) על הפונקציה "המצומצמת", כדי לחסוך בזמן ומאמץ. חוץ ממציאת תחום ההגדרה - שאת זה חייבים לבצע על התצורה המקורית, וגם להתחשב בו בכל שאר החקירה. אבל תסכים איתי יונתן, שיש פונקציות שאינן מכילות רק פולינומים (כמו למשל lnx/x-1 ) ושם חילוק ב x-1 לא יועיל לנו...ואז צריך לבצע בדיקה מתמטית של האסימפטוטה (למשל לחשב גבול).
רון חשבון α•βƒ²(Δ)³+πº∑Ǿ ℓim(x→∞)ε∫¼±
אני מסכים איתך לגמרי שבפונקציות המכילות רק פולינומים, אפשר לדבר על "פונקציה מצומצמת למקסימום", ואז המשפט שנתת הוא נכון. אני אפילו אוסיף על מה שאמרת : אני תמיד אומר לתלמידים שלי לבצע את כל חקירת הפונקציה הזו (נקודות קיצון, עליה וירידה...) על הפונקציה "המצומצמת", כדי לחסוך בזמן ומאמץ. חוץ ממציאת תחום ההגדרה - שאת זה חייבים לבצע על התצורה המקורית, וגם להתחשב בו בכל שאר החקירה. אבל תסכים איתי יונתן, שיש פונקציות שאינן מכילות רק פולינומים (כמו למשל lnx/x-1 ) ושם חילוק ב x-1 לא יועיל לנו...ואז צריך לבצע בדיקה מתמטית של האסימפטוטה (למשל לחשב גבול).
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.