שאלה מופשטת

[plato]

שאלה מופשטת

ולשם שינוי, ללא תועלת נראית לעין. (אני לא פותר מבחן או שיערי בית) נתונה משפחת קבוצות M. כל איבר ב-M היא קבוצה אינסופית. (לצורך העניין אפשר גם לא בת מניה). M עצמה אף היא אינסופית. אני מחפש מטריקה לא דיסקרטית (כמובן לא טריוויאלית) מעל M. (אהיה מוכן להתפשר על סמי מטריקה

)

 

[plato]

אף אחד?

אפילו לא פתרון חלקי, או רעיון?

 

[Deathatred]

הגדר מטריקה דיסקרטית

ונסה להסביר במה מדובר, יש לי אינטואיציה אבל צריך לדעת בדיוק במה מדובר. נ.ב.: אתה יכול לפרט איזה ידע קודם נדרש?

 

[plato]

הגדרת מטריקה

 

[plato]

אה, שכחתי:

מטריקה דיסקרטית היא המטריקה המשרה את הטופולוגיה הדיסקרטית. במילים אחרות היא מטריקה שבה לכל נקודה במרחב x קיים רדיוס r שעבורו הכדור הפתוח ברדיוס r הוא הקבוצה {x}. דוגמא למטריקה כזו: לכל x=y מגדירים d(x,y)=0 ולכל x שונה מ-y מגדירים d(x,y)=1

 

[גיאורג היינס]

קודם תצטרך להגדיר טופולוגיה

על המחלקה הזאת, ואז לראות אם היא בכלל מטריזאבילית. 2 האפשרויות הראשונות הקופצות לעין הן: א. טופולוגית קבוצת החזקה (טופולוגיה דיסקרטית). ב. טופולוגיה טריביאלית (המחלקה והקבוצה הריקה). הטופולוגיה הטריביאלית לא מטריזאבילית. אפשרות מעניינת נוספת: נגדיר את המרחב הטופולוגי כמחלקה, הקבוצה הריקה והמקורות של ההעתקות הרציפות מכל אבר ב-M ל-R^k , לצורך העניין נבחר k>=2 ואז קיבלת יריעה טופולוגית ממימד 2 (משטח). אזי המקורות הם קבוצות פתוחות ויש לך טופולוגיה מעניינת (לא טריביאלית ולא דיסקרטית).

 

[plato]

מטריקה

משרה טופולוגיה לכן אין צורך להגדיר אותה. (בסיס לטופולוגיה המושרית הוא קבוצת כל הכדורים הפתוחים לפי d)

 

[plato]

שים לב:

אני לא כל כך הבנתי איזו טופולוגיה הגדרת. איברי M אינם בהכרח מרחבים טופולוגיים, לכן אין משמעות לרציפות של העתקה מהם אל מרחב אחר.

 

[גיאורג היינס]

ההגדרה ברורה מאליה:

א. המרחב X יוגדר ע"י M והקבוצה הריקה ובנוסף מכל אבר m במחלקה נגדיר פונקציה f:m->R כך שנדרוש ש-המקור של הפונקציה f^{-1}(U) U is open in R הוא קבוצה פתוחה כלומר: אם f(m)=H open in R אזי U is in H. הגדרה זו מקיימת את האקסיומות הדרושות למרחב טופולוגי: 1. הוא מכיל את M והקבוצה הריקה. 2. איחוד כלשהו של קבוצות ב-X (נעשה דרך המקורות של הפונקציה f) נשאר ב-X. 3. חיתוך סופי של קבוצות ב-X נשאר ב-X (דרך המקורות של הפונקציה f). ב. כתבת שמטריקה משרה טופולוגיה, אבל לא כל טופולוגיה משרה מטריקה למשל מרחב שהוא לא האוסדורף הוא לא מטריזבילי. ג. כתבת ש-M אינה מרחב טופולוגי, אם אינה מרחב טופולוגי הפכתי אותה לחלק מטופולוגיה ע"י ההגדרה למעלה.

 

[גיאורג היינס]

הקפצה