שאלה בסדרות

[Johnney]

שאלה בסדרות

מהו הסכום של 20 האיברים הראשונים של הסדרה הבאה: ...+1+3X+5X^2+7X^3

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo62.gif ניסיון

ננסה ככה, ונראה לאן זה יוביל אותנו:

1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + . . . + 39x^19 = = 1 + x + x^2 + x^3 + . . . + x^19 + + 2x + 4x^2 + 6x^3 + . . . + 38x^19 = = (x^20 - 1)/(x - 1) + + 2x(1 + 2x + 3x^2 + . . . + 19x^18) = = (x^20 - 1)/(x - 1) + + 2x * (1 + x + x^2 + x^3 + . . . + x^19)' = = (x^20 - 1)/(x - 1) + + 2x * [(x^20 - 1)/(x - 1)]' = = (x^20 - 1)/(x - 1) + 2x * [20x^19(x - 1) - (x^20 - 1)]/(x - 1)^2 = = (x^20 - 1)/(x - 1) + 2x * (20x^20 - 20x^19 - x^21 + 1)/(x - 1)^2 = = [ (x^20 - 1)(x - 1) + 2x*(20x^20 - 20x^19 - x^21 + 1) ]/(x - 1)^2 = = (x^21 - x^20 - x + 1 + 40x^21 - 40x^20 - 2x^22 + 2x) / (x - 1)^2​

וכו'...

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo62.gif דרך אחרת

נניח x=u^2 (לא חשוב אם u נבחר חיובי או שלילי, או בכלל מדומה).

1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + . . . + 39x^19 = = 1 + 3u^2 + 5u^4 + 7u^6 + . . . + 39u^38 = = (u + u^3 + u^5 + u^7 + . . . + u^39)' = = [(u^41 - u)/(u^2 - 1)]' = = [(41u^40 - 1)(u^2 - 1) - 2u(u^41 - u)] / (u^2 - 1)^2 = = (41u^42 - 41u^40 - u^2 + 1 - 2u^42 + 2u^2) / (u^2 - 1)^2 = = (39u^42 - 41u^40 + u^2 + 1) / (u^2 - 1)^2 = = (39x^21 - 41x^20 + x + 1) / (x - 1)^2​

 

[Johnney]

דרך נוספת

ראה קובץ מצורף:

 

[היחיד במינו]

זה עמד לי על קצה הלשון

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo45.gif כך יותר טוב.