ריצוף פנרוז

[עריסטו]

ריצוף פנרוז

מכירים את ריצוף פנרוז? http://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling תסתכלו בתמונה הראשונה שם. זה ריצוף עם סימטריה מחומשת - אם מסובבים את הציור 72 מעלות סביב מרכזו, הוא לא משתנה. נניח שריצפנו את כל המישור על ידי ריצוף פנרוז. הוכיחו כי לא ייתכן שיש לו שני מרכזים של סימטריה מחומשת, כלומר שתי נקודות שונות שאם מסובבים את הציור 72 מעלות סביבן הציור לא משתנה. (כדי לפתור לא צריך להיות בקיאים בתכונות של ריצוף פנרוז - מספיק לדעת שזה ריצוף שמורכב בשני סוגי מעויינים, כמו בתמונה שם.)

 

[srulikbd]

אני לא מוצא מרכז אחד..?

 

[עריסטו]

ממש במרכז התמונה...

 

[m e w]

זה תמיד נכון

בסימטריה של 72 מעלות, לא? דרך מצחיקה קצת לראות את זה (שיש מרכז אחד) היא לקחת את המצולע (המעושר) הראשון במרכז הסימטריה הראשון ולראות שהוא חוזר בריצוף כל פעם במרחקים שווים מהקודקודים ושהמרחקים בין כל שני מצולעים מאותו הסוג שווים כל הזמן (אבל שונים מהמרחק הקודם)

 

[עריסטו]

לא הבנתי

האם מה שכתבת הוא הוכחה שלא יכול להיות יותר ממרכז אחד של סימטריה מחומשת? אם כן לא הבנתי את ההוכחה.

 

[עריסטו]

נא לשים לב

שצריך להוכיח את הטענה עבור כל דרך לרצף את המישור על ידי שני המעויינים, ולא רק עבור הדרך המודגמת בציור.

 

[m e w]

בטח אני טועה

אבל אולי לפחות אני אבין איפה זה לא ממש הוכחה - פשוט רואים את זה אם נקח את המעושר הראשון (ממרכז הסמטריה הראשון) אפשר לראות שהוא חוזר על עצמו בריצוף ברחקים שווים מקודקודי המעושר. ובין כל שני מעושרים באותו הרדיוס המרחקים שונים

 

[עריסטו]

זאת לא הוכחה

גם אם זו הוכחה, היא מתייחסת לריצוף הספציפי המודגם בתמונה. מה שצריך להוכיח הוא שלכל ריצוף ע"י שני המעויינים הנ"ל לא יכול להיות יותר ממרכז אחד של סימטריה מחומשת.

 

[m e w]

כך כתבת

סתם בסימטריה אחרת של 72 מעלות זה כן אפשרי?

 

[עריסטו]

כן

למשל אם המישור ריק, כל נקודה בו היא מרכז סימטריה של 72 מעלות.

 

[m e w]

לפחות

היית יכול להוסיף סמייל כגון

 

[עריסטו]

במתמטיקה צריך להגדיר במדוייק ../images/Emo3.gif../images/Emo140.gif

 

[srulikbd]

אממ כתוב שהריצוף לא חוזר על עצמו.. להוכיח את

זה?

 

[עריסטו]

לא