קומבינטוריקה

[tolko]

קומבינטוריקה

קופסא מכילה 8 כדורים אדומים, 3 לבנים ו- 9 כחולים. אם 3 כדורים מוצאים באופן אקראי
ללא החזרה, מה ההסתברות ש:
9.1 כל ה- 3 לבנים.
9.2 שניים אדומים ואחד לבן.

אני הצלחתי לפתור כל סעיף גם לפי שיטה בה יש חשיבות לסדר ההוצאה וגם לפי שיטה בה אין חשיבות:
(9.1)
אין חשיבות לסדר: 3 מעל 3 (בחירת 3 כדורים לבנים מתוך 3 כדורים לבנים זמינים) חלקי 20 מעל 3 (בחירת 3 כדורים כלשהם מתוך 20 הכדורים בסה"כ)
יש חשיבות לסדר: zz 3*2*1/20*19*18 zz
התשובה יוצאת זהה. באופן דומה ניתן לפתור עבור סעיף 9.2

אבל אז הגעתי לשאלה הזאת: באוניברסיטת ת"א כל מספרי הטלפון הפנימיים הם בני 4 ספרות – לא כולל את המספר 0000
בהנחה שהמספרים חולקו באופן מקרי, מהי ההסתברות שבמספר הטלפון שקיבל דיקן הפקולטה
לביולוגיה:
10.1 ישנה ספרה שחוזרת יותר מפעם אחת?
10.2 הספרה 0 מופיעה בדיוק פעמיים? בדיוק 3 פעמים?
10.3 כל ספרה במספר חוזרת פעמיים?

את 10.2 אני מרגיש שאני יודע לפתור אבל שאני עושה מיש-מש שמערבב חשיבות לסדר ואין חשיבות לסדר: בסה"כ במרחב המדגם יש 9999 מספרים אפשריים (יש חשיבות לסדר הופעת הספרות במספר) ואם נגיד אני רוצה ש-0 יופיע בדיוק פעמיים אז אני צריך לייצג את זה כ-4 מעל 2 (לבחור 2 מקומות מתוך ה-4 מקומות לאפסים) ואת זה לחלק ב-9999. האם זו הדרך הנכונה לפתרון? אני ממש לא בטוח כי לכאורה אני מערבב בו בין כמות סידורים שלוקחת בחשבון חשיבות לסדר (מרחב המדגם) לבין כמות סידורים שלא לוקחת בחשבון חשיבות לסדר (בחירת 2 מקומות מתוך 4 לאפסים)... אז למה שזה ייצא נכון בעצם?

 

[avima]

נראה שיוצא לך

בשאלה הראשונה
אותו סיכוי
אם יש חשיבות לסדר
ואם אין לו חשיבות

זה נראה סביר ?

 

[tolko]

לדעתי כן

כי שים לב שאם אין חשיבות לסדר אני מתחשב בכך גם עבור המאורע המבוקש וגם עבור מרחב המדגם, ואותו כנ"ל כאשר יש חשיבות לסדר - בפועל אני משנה את השבר באותו פקטור גם במונה וגם במכנה כאשר אני פותר כשיש חשיבות לסדר וכשאין חשיבות לסדר, וזה למה יוצאת אותה התשובה עבור 2 נק' המבט השונות. לגבי השאלה הזאת אני בטוח שהתשובה שיוצאת לי היא הנכונה (לפי פתרון שהועלה).

 

[tolko]

החשיבות לסדר בשאלה הזו נתונה לבחירתי לדעתי

אני יכול להסתכל על הבעיה כבעיה שבה שולפים כדורים וכל מה שמעניין אותי זה מה נשלף (ולא הסדר בו נשלף), או שאני יכול להסתכל על הבעיה כאילו אני מסדר כל כדור שנשלף בשורה (ואז יש חשיבות למי נשלף ראשון, שני ושלישי)

 

[avima]

זה נראה לי מוזר

יש הבדל עקרוני בין המצבים
המתבטא במספר הסידורים האפשריים
כאשר אין חשיבות לסדר אז מספר האפשרויות לסדר אותם מכפיל את כמות האפשרויות
ולכן התוצאה צריכה להיות עם פקטור של 3 עצרת

 

[tolko]

צריך להבדיל

אתה צודק שבין שתי הגישות יש הבדל בכמות הסידורים של כל מצב, אבל ההסתברויות זהות כי ההבדל בכמות הסידורים תקף גם למאורע המבוקש וגם למרחב המדגם. אם היו רק שואלים על כמות האפשרויות שקיימות לשלוף כך ש-א',ב',ג' אז אתה צודק וזה כבר שאלה של האם יש או אין חשיבות לסדר. אבל בהסתברות מחלקים את גודל המאורע בגודל מרחב המדגם (כל עוד הוא סימטרי כמובן) - אז כמעט תמיד ניתן לפתור שאלת הסתברות גם מתוך השקפה שיש חשיבות לסדר וגם מתוך השקפה שאין - בסופו של דבר הפקטור בו אתה משנה את גודל המאורע שלך משנה גם את גודל מרחב המדגם שלך ולכן בנטו לא שינית כלום בפעולת החילוק ותקבל אותה תוצאה להסתברות.

 

[avima]

תמיד שמח ללמוד משהו חדש

אם תוכל להסביר לי משהו

נקח בעיה פשוטה - על מנת שיהיה לי קל להבין מה אתה אומר

נניח שיש לי כד שבו 2 כדורים לבנים, 2 כחולים ו 2 ירוקים

מה הסיכוי להוציא 2 לבנים ללא סדר מסוים ?
לדעתי התשובה
2 מתוך 6 לכדור הלבן הראשון
1 מתוך 5 לכדור הלבן השני


עכשיו נניח שהכדורים גם ממוספרים
אז להוציא את הכדור הלבן שעליו יש מספר 1 הסיכוי הוא 1 מתוך 6
הסיכוי להוציא אחריו את הלבן עם המספר 2 הוא 1 מתוך 5

כלומר יש לאופציה 2 חצי מהסיכויים לאופציה אחת

מה אני מפספס כאן ?

 

[tolko]

לא פספסת כלום...

כי אלה 2 בעיות שונות לגמרי, ולא 2 נקודות מבט שונות של אותה בעיה. אם ניקח את הבעיה המקורית (הכדורים לא ממוספרים) - אז ניתן להסתכל עליה כאילו לא מעניין אותי הסדר בו אני מוציא את הכדורים אלא מעניין אותי רק איך נראה מה שהוצאתי (צבעי הכדורים) - ואז מרחב המדגם שלי הוא 2 מעל 6 (בחירת 2 כדורים מתוך 6 כדורים בסה"כ), והמאורע שלי הוא 2 מעל 2 (בחירת 2 כדורים לבנים מתוך סה"כ 2 כדורים לבנים זמינים) -מחלקים ומקבלים שהסיכוי הוא 1/15.
אולם אפשר להסתכל על הבעיה הזו בדיוק כמו בפתרון שלך - אתה נתת חשיבות לכדור הראשון ולכדור השני, שים לב שאתה מספרת את המיקום שלהם! אז אמרת נכון - לכדור הראשון (!) שאני מוציא יש 2 אפשרויות (2 כדורים לבנים זמינים) ולכדור השני יש רק אפשרות אחת (נשאר כדור לבן אחד זמין). לכן מעיקרון הכפל (שדרך אגב - ברגע שאתה משתמש בו הוא מכתיב חשיבות לסדר) יש לך בסה"כ 1*2 תוצאות אפשריות להוצאת 2 כדורים לבנים. את זה אתה מחלק בכמות התוצאות האפשריות של מרחב המדגם: 5*6. והנה קיבלת שוב 2/30 שהם 1/15.

 

[tolko]

2 מעל 6 הכוונה 6 מעל 2 כמובן

 

[tolko]

שאלה אחרת

כמה מספרים שונים בני 5 ספרות אפשר ליצור, אם הספרה 0 אינה יכולה לשמש ספרה
ראשונה במספר?
בוחרים מספר אחד מתוכם באופן מקרי.
מה ההסתברות שהוא זוגי ושכל הספרות בו שונות?

התשובה לשאלה הראשונה היא 90,000. משהו אבל מפריע לי בשאלה השנייה: אני חילקתי ל-2 מקרים: או ש-0 הוא ספרת האחדות, או שספרת האחדות היא כל מספר זוגי פרט ל-0. אם 0 ספרת האחדות אז למספר השמאלי ביותר יש 9 אפשרויות, לזה שמימינו 8, ומימינו 7 ומימינו 6 (לספרת האחדות הימנית ביותר כאמור יש אפשרות אחת - חייבת להיות 0). אם המספר הוא זוגי עם ספרות שונות כש-0 בהכרח אינה ספרת האחדות אז לספרת האחדות יש 4 אפשרויות, לשמאלית ביותר יש 8 (לא ספרת האחדות ולא 0) אפשרויות, לזו שמימינה 8 (לא ספרת האחדות, לא הספרה השמאלית ביותר אבל כן יכול להיות 0) ולזו שמימינה 7 אפשרויות. סוכמים 2 מקרים אלה ומקבלים תשובה נכונה (בדקתי). אבל מה היה קורה אם הייתי רוצה לעבוד מכיוון ספרת העשרות אל ספרת העשרות אלפים ולא ההיפך כמו שעשיתי? כלומר תחילה התייחסתי לספרת האחדות הימנית ביותר אבל מיד לאחר מכן חזרתי לצידו השמאלי של המספר ובניתי את מכפלת האפשרויות משמאל לימין ולא ההיפך. האם ניתן בכלל לפתור כך? כי לא ממש הצלחתי... האם יש הכרח להתחיל בספרות עליהן יש תנאים (האחדות והעשרות אלפים בשאלה הזאת).

 

[עריסטו]

אפשר ללכת כל הזמן מימין לשמאל

אבל זה סתם מסבך.

אם אף אחת מארבעת הספרות האחרונות אינה 0:
לאחדות - 4 אפשרויות
לעשרות - 8 אפשרויות
למאות - 7 אפשרויות
לאלפים - 6 אפשרויות
לעשרות אלפים - 5 אפשרויות
סה"כ - 6720 אפשרויות

אם אין הגבלת "לא 0" על ארבעת הספרות האחרונות (כלומר אחת מהן *יכולה* להיות 0, אבל לא בהכרח יש 0): נחשב כמה אפשרויות יש ל-4 הספרות האחרונות.
לאחדות - 5 אפשרויות
לעשרות - 9 אפשרויות
למאות - 8 אפשרויות
לאלפים - 7 אפשרויות
סה"כ - 2520 אפשרויות. מזה נחסר 4*8*7*6 (מספר האפשרויות ל-4 הספרות האחרונות כשיש הגבלת "לא 0") ונקבל 1176 - זהו מספר האפשרויות ל-4 האחרונות אם אחת מהן היא 0. נכפיל ב-6 (מספר האפשרויות לספרה השמאלית) ונקבל שיש 7056 מספרים חוקיים שבהם אחת מארבעת הספרות האחרונות היא 0. נחבר ל-6720 שמצאנו קודם ונקבל 13776.

 

[tolko]

אה נחמד מאוד

היכולת שלך לפרק את הבעיה לתתי בעיות ולהבין איך הכל מסתכם למה שאתה צריך היא יפה מאוד, ורחוקה ממני באותו פקטור יופי

תודה!

 

[tolko]

מישהו? בבקשה?

 

[עריסטו]

למה

"אני צריך לייצג את זה כ-4 מעל 2 (לבחור 2 מקומות מתוך ה-4 מקומות לאפסים) ואת זה לחלק ב-9999"

המספר שאתה צריך לחלק ב-9999 הוא מספר המספרים בהם יש בדיוק שני אפסים. המספר הזה הוא לא 4 מעל 2.

 

[tolko]

אני חושב שהוא כן

אני אגש לזה אחרת: יש לי מספר 4 ספרתי ואני רוצה ש-0 יופיע פעמיים: זאת אומרת ל-0 הראשון יש 4 מקומות אפשריים, ולאפס השני יש 3 מקומות אפשריים. אבל - מכיוון ששניהם אפסים והם זהים, צריך לחלק בסידור הפנימי שלהם עם עצמם (2 עצרת) - כי אם אני אמקם את 0 הראשון הכי שמאלה, ואת ה-0 השני צמוד מימינו, זה אותו דבר כמו למקם את ה-0 ה"שני" הכי שמאלה ואת ה-0 ה"ראשון" צמוד מימינו. אפשר גם ממש לצייר ולראות שבסה"כ זה 6 אפשרויות, שזה 4 מעל 2.

 

[עריסטו]

הנה שבעה מספרים בהם יש בדיוק שני אפסים:

0011
0012
0013
0014
0015
0016
0017

 

[tolko]

סליחה סליחה!

כמובן ששכחתי אחרי 6 לכפול ב-9 בריבוע (9 אפשרויות למספר הראשון שאינו 0 ו-9 אפשרויות למספר השני שאינו 0). בתרגיל כן רשמתי את זה אבל לפה שכחתי להעלות את החלק הזה, צודק במאה אחוז. אני התייחסתי ל-4 מעל 2 רק כמספר האפשרויות למקם 2 אפסים במספר 4 ספרתי, בו יהיו 2 אפסים בדיוק.

 

[עריסטו]

אז אם כך פתרת נכון

"4 מעל 2" כפול 2^9 זה מספר המספרים עם 2 אפסים בדיוק. מחלקים במספר הכללי של המספרים (9999) ומקבלים את ההסתברות.

 

[tolko]

מעולה תודה!

 

[tolko]

עוד אחת - כנראה יש לי בעיה בהבנת הנקרא

בעודו מבדר את רומיאו וג'וליה, מקבל עוזי טלפון מהעבודה. בשל צורך לשפץ את המשרד של עוזי, נאמר לו שיהיה עליו לקחת חופשה כפויה ללא תשלום בשבוע הבא. עוזי בוחר יום חופשה מתוך חמשת ימי העבודה שלו. יחד עם עוזי עובדים עוד 7 אנשים, וגם את המשרדים שלהם ישפצו בשבוע הבא, ולכל אחד מהם מחייגים גם כן בשביל לשאול איזה יום הם ירצו לקחת בתור יום חופש.
מה ההסתברות ששני עובדים בלבד (נאמר, עוזי ועוד אחד מחבריו לעבודה) יבחרו באותו היום?

אני לא מבין משהו - אם יש 8 עובדים ורק 5 ימי עבודה - איך בדיוק קיים איזשהו סיכוי שרק עוזי ועוד מישהו יבחרו את אותו יום? אין שום אפשרות לקיים מצב בו רק 2 עובדים בוחרים את אותו יום ושאר העובדים בוחרים ימים שונים... לא?