פרדוקס סקולם

[MelodicTruth]

פרדוקס סקולם

לפי משפט סקולם-לוונהיים, לכל מבנה אינסופי לשפה, קיימים תת-מבנים אלמנטריים בכל העוצמות האינסופיות הקטנות\שוות מעוצמת המבנה, כך שאותם מבנים מספקים את אותה קבוצה של פסוקים מסדר ראשון, למרות שהמבנים החדשים אינם איזומורפיים למבנה המקורי. בפרט, לפי משפט סקולם-לוונהיים, קיימים מודלים בני מנייה של תורת הקבוצות. אך מצד שני, קיומן של קבוצות שאינן בנות מנייה נובע מאותן אקסיומות של תורת הקבוצות, כך שאנו מדברים על מודלים בני מנייה, בהם הפסוק "x אינה בת מנייה" אמיתי. 1. האם לדעתכם מדובר בפרדוקס של ממש? 2. האם התוצאות האלו מצביעות על כך שגם מושג העוצמה הוא יחסי במובן מסויים?

 

[AnarchistPhilosopher]

ממה שכתוב במאת'וורלד:

The Löwenheim-Skolem theorem is a fundamental result in model theory which states that if a countable theory has a model, then it has a countable model. Furthermore, it has a model of every cardinality greater than or equal to (aleph-0). This theorem established the existence of "nonstandard" models of arithmetic. The Löwenheim-Skolem theorem establishes that any satisfiable formula of first-order logic is satisfiable in an (aleph-0) domain of interpretation. Hence, aleph-0 domains are sufficient for interpretation of first-order logic. http://mathworld.wolfram.com/Loewenheim-SkolemTheorem.html אז אם ננתח את הפסקה הראשונה, אז זה אומר שאם תיאוריה היא ספירה (שאני מניח שמדובר בתיאוריה סופית שלא מוסיפים לה עוד אקסיומות או הנחות) אז ניתן לבנות לה מודל (אתה תצטרך לבאר לי מה ההגדרה המתמטית למודל?) שגם הוא יהיה סופי, או ניתן לספירה. עכשיו בהמשך כתוב שהיא מאפשרת לקרדינליות של כל מספר גדול מnull aleph, כלומר מאפשרת חשבון שמוכר לנו כמו מספרים ממשיים, מרוכבים וגם מה שהמילטון המציא (הקווטרניונים והאוקטניונים), ואילו נקראים אריתמטיקה לא רגילה (non standard). הפסקה השניה קצת מבלבלת, אבל אני לא כ"כ התקדמתי בשיעורי הלוגיקה שלי, כך שתצטרך לשאול מומחה בלוגיקה מאוניברסיטאות בחו"ל או מהארץ. אני מסופק שתמצא תשובה נאותה פה. (בייחוד מכיוון שאני לא חושב שיש כאן מומחה לתיאורית המודל חוץ ממך, הלא כן?

 

[MelodicTruth]

כמה הסברים:

אני מניח כי אתה מכיר את הסמנטיקה וההגדרות הבסיסיות של השפות מסדר ראשון, לכן אגש ישר להגדרת המושג "מודל" קודם כל, כדי להסביר את המושג "מודל", יש להסביר מהו מבנה. לצורך העניין, נבחין בין המושגים "מבנה מתמטי" למבנה בתורת המודלים. מבנה מתמטי, פחות או יותר, הוא קבוצה לא ריקה, עליה מגדירים יחסים, פעולות (פעולה n-מקומית מוגדרת כיחס n+1 מקומי) ואיברים מצויינים. למשל, ניתן לדבר על מבנה המספרים הטבעיים הבא: <N, 0, S>. המבנה מורכב מקבוצה (N), איבר מצויין (0) ופעולה (S היא פעולת העוקב, S(0)=1 וכו'). כעת, אנו יכולים להגדיר מבנה במונחים של תורת המודלים. מבנה הוא פונקציה מהשפה למבנה מתמטי, כמו שהדגמנו למעלה. למשל, תהי L השפה המכילה את קבוע השוויון, קבוע אישי (נקרא לו 0*) וקבוע פעולה (+*). ניתן להתאים לשפה הזאת את המבנה של המספרים הטבעיים שתואר למעלה. כך למשל, הפסוק שאומר "0* שונה מ-+*(x), לכל x", שהוא אחד מאקסיומות פיאנו, מתפרש במבנה הנ"ל כך: "0 שונה מכל איבר עוקב ב-N". אנו אומרים שהפסוק הנ"ל אמיתי באותו מבנה של מספרים טבעיים. כעת, ניגש להגדרה של מודל: כאשר נתונה לנו קבוצת פסוקים X, בשפה L, מבנה לשפה בו כל הפסוקים ב-X אמיתיים, יקרא L-מודל של X. כעת נחטא בהגדרה מקוצרת של המושגים הבאים: 1. איזומורפיזם: מבנה A ייקרא איזומורפי למבנה B, אם קיימת פונקציה חח"ע ועל מ-A על B, השומרת (לא נגדיר מה הכוונה ב"לשמור") על כל היחסים, פעולות ואיברים מצויינים במבנה המקורי. השפה לא מסוגלת להבחין בין שני מבנים איזומורפיים, זאת אומרת, כל הפסוקים של השפה יקבלו אותם ערכי אמת בשני מבנים איזומורפיים. 2. תת-מבנה אלמנטרי: יהי A מבנה, תת-מבנה של A (שעולמו חלקי לעולמו של A) המקיים תכונות מסויימות (המכונות קריטריון ווט), ייקרא תת-מבנה אלמנטרי של A, וייתן בדיוק אותם ערכי אמת לכל הפסוקים, כמו המבנה A. בפרט, תת המבנה לא חייב להיות באותה עוצמה של המבנה המקורי, ולכן, לא קיימת בהכרח פונקציה חח"ע ועל עליו (במילים אחרות, הם לא איזומורפיים). לפי משפט סקולם-לוונהיים, כאשר נתון לך מודל שאינו בן-מנייה, קיימים לו תת-מבנים אלמנטריים בכל העוצמות האניסופיות, הקטנות\שוות מעוצמת המודל המקורית. במילים אחרות, אם קיים לקבוצת פסוקים מסדר ראשון מודל, אז קיים לה גם מודל בן מנייה. אני מקווה שזה עזר לך להבין את ההודעה הראשונה שלי. נ.ב. אני מתנצל על חוסר הדיוק, קצת קשה להסביר נושא בסדר גודל כזה בהודעה קצרה.

 

[MelodicTruth]

בקשר למודלים לא תקניים של תורת

המספרים: מדובר, סך הכל, במודלים של תורת המספרים, שאינם איזומורפיים למבנה: <* ,+ ,1 ,0 ,N>

 

[matanZ]

העולם של המודל

הוא בן מניה כאשר מסתכלים עליו כעל תת קבוצה של מודל גדול יותר. כלומר, במודל הגדול יותר קיימת פונקציה חד חד ערכית מהעולם לקבוצת המספרים הטבעיים. ברם, במודל הקטן, הפונקציה הזו לא קיימת, ולכן העולם אינו בן מניה (בתוך עצמו).

 

[MelodicTruth]

בדיוק

השאלה המקורית שלי, בניסוח שיתאים להודעה שלך: האם התוצאות הנ"ל הן האנלוג של תורת היחסות בתוך תורת המודלים?

מתקבל הרושם כי גם מושג העוצמה יחסי במידה מסויימת...

 

[AnarchistPhilosopher]

כמו שכבר ציינתי ואף אתה ציינת

זה כבר מעבר ללימודיי בלוגיקה. ד"א בהצלחה בהמשך דרכך. (-;