פיתוח מקלורן

[MayaTMR]

פיתוח מקלורן

אני מסתבכת עם השאלה הבאה..
באופן כללי, יש סיכוי שתראו לי איך עונים על שאלה כזו באופן פורמאלי ומנומק?

זה יועיל לי מאוד מאוד! תודה רבהה

 

[1ca1]

תשובה

נשתמש בפיתוח מקלורן מסדר 1 ל-f(x) ונקבל
zz f(x)=f(0)+f'(0)(x-0)+f''(c)(x-0)^2/2 zz
ולכן
zz f(x)=x+f''(c)x^2/2 zz
נחלק ב-x ונקבל
zz f(x)/x=1+x(f''(c)/2) zz
אז נשאר לנו להראות ש-f''(c)/2 דומה ל-1+alpha(x).
נגדיר את alpha(x) להיות ההפרש המתאים, כלומר
zz f''(c)/2-1 zz
(שימי לב ש-c תלוי ב-x).
ולכן נוכל לכתוב
zz f(x)/x=1+x(1+alpha(x)) zz
נישאר רק להראות את ההצדקה של הגבול alpha(x)=0 כאשר x->0.
אז c בין 0 ל-x מתכונות השארית.
כעת, תחת הנחה של רציפות של f'' (אפשר עם טיפה יותר חלש מזה, נישאר בזה לבינתיים), נקבל שכאשר x->0, אז c->0 ומהרציפות f''(c)->2 ולכן f''(c)/2-1->0, כנדרש.

 

[MayaTMR]

תודה רבה על ההסבר הבהיר והמפורט, רק

עניין אחד לא כ"כ מובן לי - כתבת בשורה האחרונה ש-f'' רציפה. מהיכן הסקת זאת? אני לא רואה נתון כזה... תוכל להסביר לי בבקשה?

שוב תודה!!

 

[1ca1]

הנחתי ש-f'' רציפה

יש כמה סוגים של שאריות שאפשר להשתמש בהן במשפט טיילור, ויש גם כמה ניסוחים, לרוב דורשים גזירות n+1 פעמים ומפתחים לטור מסדר n והכל יוצא בסדר. למטרות של פישוט ההוכחות, כמו כאן, דורשים גזירות ברציפות n+1 פעמים.
&nbsp
יש דרך לעשות את אותו הדבר אם נתון רק גזירות n+1 פעמים (ולא בהכרח גזירות ברציפות), אבל כאן ממש צריך לחפור לתוך הניסוח של משפט טיילור והגדרת השארית, יש מה שנקרא שארית פיאנו (כל מיני דברים שרואים רק בתוך הספר של מייזלר, אני לא בטוח אם זה מופיע בספר החדש של מייק הוכמן), שהוא נותן לך את השארית כפונקציה אריטלאית שמקיימת את מה שאת רוצה - https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor's_theorem#Statement_of_the_theorem
&nbsp