פונקציית דלתא

[סטודנטלמתמטיקה]

פונקציית דלתא

יש לי שאלה בנושא הזה שהייתה בתרגול.

דלתא של קרונקר מוגדרת כך:

delta_m,n = 1 if m=n. 0 otherwise.
פונקציית דלתא של דיראק אומרת את הדבר הבא:
בהינתן f(x) פונקציית מבחן:
1. f גזירה ברציפות אינסוף פעמים.
2. f בעלת תומך קומפקטי. כלומר: קיים M>0 כך ש:
zz f(x) = 0 for |x|>M zz
אזי delta(x) מקיימת:
zz Sdelta(x)dx = 1 zz
zz delta(x)f(x-x0)dx=f(x0) zz
כאשר שניי האינטגרלים האחרונים הם ממינוס אינסוף עד אינסוף.
התרגיל הוא להראות ש-
psi_n(x) = n if |x|<=1/2n and 0 otherwise.
כאשר psi_n זו בעצם סדרה של פונקציות.

אני לא רואה כל כך מה הקשר בין בין הסדרה הזו לבין הפונקציה delta(x) בכלל..
לא ברור לי למה הפונקציית דלתא במקרה הבדיד (שכתבתי אותה בתחילת הפוסט), היא מקרה פרטי של הפונקצית דלתא delta(x). או שזה בכלל לא מקרה פרטי.

וגם נדמה לי המתרגל אמר שהפונקצית delta היא לא באמת פונקציה. לא ממש הבנתי מה הכוונה ולמה זו לא באמת פונקציה.

אשמח לעזרה עם השאלות האלו ועם התרגיל עצמו..

תודה.

 

[הפרבולה]

נידמה לי שיש לך שם טעות קטנה

האינטגרל השני צריך להיות :
S delta(x) * f(x + x0)dx= f(x0)

אפשר לרשום אותו גם ככה

S delta(x - x0)*f(x)dx= f(x0)

לא ברור מהניסוח שלך מה צריך להראות, סה"כ כתבתה הגדרה של סידרת פונקציות psi_n(x.

האם התרגיל הוא להראות שסידרת פונקציות זו מתכנסת לדלתה של דיראק ?