עזרה דחופה

[גרשון של הצאט]

עזרה דחופה

הוכח כי הפונקציה x בחזקת x רציפה במידה שווה בקטע [0,5). אם אפשר להסביר בכלליות: איך מוכיחים רציפות במידה שווה????? תודהה רבהה

 

[איגור קרסיק]

......

שם לב שניתן להרחיב את ההגדרה של x^x גם ל-0 ע"י כך שהגדיר פונקציה חדשה: h(x) שלכל x>0 ערכה כערך x^x וב-0 ערכה 1. קל להוכיח ש-h רציפה בקטע [0,5] ולכן היא רציפה שמה במ"ש, לפיכך היא רב"ש גם בקטע [0,5) ובקטע זה פונקציה זו היא לא אחרת מאשר x^x, ולכן x^x רציפה בקטע זה. אני חושב שתוכל להכליל את הפתרון בעצמך.

 

[גרשון של הצאט]

לא ממש עוזר

איך מוכיחים ש h רציפה שם? אם אתה יכול בבקשה להסביר איך מוכיחים רציפות במ"ש באופן כללי? תודה

 

[איגור קרסיק]

.....

h רציפה בקטע [0,5) שכן x^x רציפה בקטע זה. הגבול של h כאשר היא שואפת ל-0 מימין שווה לגבול של x^x כאשר היא שואפת ל-0 מימין והוא כידוע שווה ל-1 שזה בעצם h(0) d, ולכן h רציפה מימין ב-0 וממילא רציפה בקטע [0,5]. באופן כללי יש מספר דרכים: 1. לפי ההגדרה. 2. אם הנגזרת חסומה. 3. בקטעיים סופיים פתוחים [או פתוחים למחצה] ע"י הגדרת פונקציה אחרת שתתלכד עם הפונקציה המקורית בקטע פרט למספר סופי של נקודות [1 או 2] ובנקודות האחרות להגדיר את הפונקציה כך שהיא תהיה רציפה [לשיטה זו אני קורא "שיטת הריצוף". 4. אם הפונקציה רציפה בכל קטע סגור מהצורה [a,c] לכל c>a וקיים הגבול באינסוף והוא סופי [יש דבר דומה גם עבור מינוס אינסוף].

 

[Aegon]

קנטור

הזכר במשפט קנטור האומר כי פונקציה רציפה בקטע סגור רציפה בו במידה שווה.