בחשכת הלילה
Active member
לגמרי לא משנה, באילו אותיות נשתמש.
מה שחשוב, זה איך מוגדרת הפונקציה f, איך מוגדרת החוקיות שלה.
למשל, אם הפונקציה היא "בריבוע", אז אנו יודעים איזה ערך היא תקבל, עבור המספר 7: את הערך 49.
אפשר לומר, שכאשר x=7, אזי f(x)=49.
אבל באותה מידת הצלחה אפשר לומר, שאם Щ=7, אז f(Щ)=49.
גם זה וגם זה אומר, ש-7 בריבוע שווה 49.
למספר 7 בדוגמאות הנ"ל קוראים "ארגומנט".
אפשר לומר, ש- (f(7 זה ערך הפונקציה כאשר הארגומנט שווה 7.
בחידה הנ"ל נתון שערך הפונקציה עבור ארגומנט שווה 0, הוא 1, וצריך למצוא מהו ערך הפונקציה, כאשר ערך הארגומנט הוא 1.
בחידה הנ"ל, אם נציב למשל את הערכים: x=1, y=2, z=3
אזיי אי-השוויון הנתון ייראה כך:
f(x+y) + f(y+z) + f(z+x) >= 3f(x+2y+3z)
f(1+2) + f(2+3) + f(3+1) >= 3f(1+4+9)
f(3) + f(5) + f(4) >= 3f(14)
אם נציב את הערכים: y=z=0, נקבל אי-שוויון כזה:
f(x+0) + f(0+0) + f(0+x) >= 3f(x+0+0)
2f(x) + f(0) >= 3f(x)
f(0) >= f(x)
שזה אומר, שהערכים של הפונקציה תמיד קטנים או שווים למספר הקבוע f(0)=1.
מאידך, אם נציב: x=y=w/2, z=-w/2, נקבל אי-שוויון כזה:
f(w/2 + w/2) + f(w/2 - w/2) + f(-w/2 + w/2) >= 3f(w/2 + 2w/2 - 3w/2)
f(w) + 2f(0) >= 3f(0)
f(w) >= f(0) = 1
שזה אומר, שהערכים של הפונקציה תמיד גדולים או שווים למספר הקבוע 1.
וביחד זה אומר, שהפונקציה פשוט קבועה: היא שווה 1 עבור כל הערכים של הארגומנט. ובפרט: f(1)=1, כפי שקסניה ניחשה במקרה
כפי שכתבתי למעלה, מנהלי האתר קלקלו את החידה. בהתאם לניסוח שלהם, קל מאוד לנחש שהתשובה היא אכן 1: פשוט מאוד! בדיקה פשוטה מראה שהפונקציה הקבועה עונה על אי-השוויון. בחידה המקורית היה צריך להוכיח, שפונקציה כזאת בלבד עונה על אי-השוויון. הוכחה כזאת הצגתי עכשיו.
מה שחשוב, זה איך מוגדרת הפונקציה f, איך מוגדרת החוקיות שלה.
למשל, אם הפונקציה היא "בריבוע", אז אנו יודעים איזה ערך היא תקבל, עבור המספר 7: את הערך 49.
אפשר לומר, שכאשר x=7, אזי f(x)=49.
אבל באותה מידת הצלחה אפשר לומר, שאם Щ=7, אז f(Щ)=49.
גם זה וגם זה אומר, ש-7 בריבוע שווה 49.
למספר 7 בדוגמאות הנ"ל קוראים "ארגומנט".
אפשר לומר, ש- (f(7 זה ערך הפונקציה כאשר הארגומנט שווה 7.
בחידה הנ"ל נתון שערך הפונקציה עבור ארגומנט שווה 0, הוא 1, וצריך למצוא מהו ערך הפונקציה, כאשר ערך הארגומנט הוא 1.
בחידה הנ"ל, אם נציב למשל את הערכים: x=1, y=2, z=3
אזיי אי-השוויון הנתון ייראה כך:
f(x+y) + f(y+z) + f(z+x) >= 3f(x+2y+3z)
f(1+2) + f(2+3) + f(3+1) >= 3f(1+4+9)
f(3) + f(5) + f(4) >= 3f(14)
אם נציב את הערכים: y=z=0, נקבל אי-שוויון כזה:
f(x+0) + f(0+0) + f(0+x) >= 3f(x+0+0)
2f(x) + f(0) >= 3f(x)
f(0) >= f(x)
שזה אומר, שהערכים של הפונקציה תמיד קטנים או שווים למספר הקבוע f(0)=1.
מאידך, אם נציב: x=y=w/2, z=-w/2, נקבל אי-שוויון כזה:
f(w/2 + w/2) + f(w/2 - w/2) + f(-w/2 + w/2) >= 3f(w/2 + 2w/2 - 3w/2)
f(w) + 2f(0) >= 3f(0)
f(w) >= f(0) = 1
שזה אומר, שהערכים של הפונקציה תמיד גדולים או שווים למספר הקבוע 1.
וביחד זה אומר, שהפונקציה פשוט קבועה: היא שווה 1 עבור כל הערכים של הארגומנט. ובפרט: f(1)=1, כפי שקסניה ניחשה במקרה
כפי שכתבתי למעלה, מנהלי האתר קלקלו את החידה. בהתאם לניסוח שלהם, קל מאוד לנחש שהתשובה היא אכן 1: פשוט מאוד! בדיקה פשוטה מראה שהפונקציה הקבועה עונה על אי-השוויון. בחידה המקורית היה צריך להוכיח, שפונקציה כזאת בלבד עונה על אי-השוויון. הוכחה כזאת הצגתי עכשיו.
