עוד חידת בחירות

[עריסטו]

בבחירות היו שני מועמדים A ו-B. המועמד A קיבל a קולות והמועמד B קיבל b קולות, כך ש- a>b. סופרים את הקולות בסדר אקראי (בהסתברות שווה לכל סדר). מה ההסתברות שבמהלך ספירת הקולות A תמיד מוביל?

 

[הפרבולה1]

אפשר רמז ?

 

[עריסטו]

נסה לחשוב על זה בצורה גרפית:
מתחילים מהנקודה (0,0) ובכל צעד הולכים מ-(x,y) ל -(x+1,y+1) - זה קול של A, או ל-(x+1,y-1) - זה קול של B. אחרי a+b צעדים מגיעים ל-(a+b,a-b). יש "a+b מעל a" (או "a+b מעל b") מסלולים כאלה. השאלה היא - אם בוחרים אחד מהם באקראי, מה ההסתברות שהוא לא נוגע בציר x (חוץ מנקודת ההתחלה).

 

[הפרבולה1]

מספר המסלולים הכולל הוא מספר הצרופים של b מתוך a+b שזה zzz (a+b)!/a!*b! zzz
מספר המסלולים בלי לחתוך את ציר X יצא לי zzz (a+b-1)! *(a-b)/a!*b! zzz

ההסתברות זה החילוק בניהם שיוצא

zzz P(a,b) = (a-b)/(a+b) zzzz

 

[עריסטו]

מספר המסלולים הכולל הוא מספר הצרופים של b מתוך a+b שזה zzz (a+b)!/a!*b! zzz
מספר המסלולים בלי לחתוך את ציר X יצא לי zzz (a+b-1)! *(a-b)/a!*b! zzz

ההסתברות זה החילוק בניהם שיוצא

zzz P(a,b) = (a-b)/(a+b) zzzz

נכון, ואפשר קצת יותר פשוט (בלי לחשב מספרי מסלולים):
יש שני סוגי מסלולים בהם A לא תמיד הוביל -
1. B קיבל את הקול הראשון
2. A קיבל את הקול הראשון אבל לא תמיד הוביל
ההסתברות שמסלול יהיה מסוג 1 היא
b/(a+b)
ומההתאמה אחד-לאחד בין המסלולים מסוג 1 למסלולים מסוג 2 נובע שגם ההסתברות שמסלול יהיה מסוג 2 היא
b/(a+b)
ולכן ההסתברות המבוקשת היא
1-2b/(a+b) = (a-b)/(a+b)

 

[הפרבולה1]

אם הבנתי נכון מה שאמרתה לגבי ההתאמה בין 2 סוגי המסלולים, אז נצייר את זה גרפית למשל עבור a=12 b=8 , כעת על כל מסלול מסוג 1 ( אדום ) שחייב לחתוך את האלכסון ( ציר X ) של הריבוע התחתון 8X8 לפחות פעם אחת , קים מסלול מסוג 2 (כחול) שהינו סימטרי למסלול האדום סביב אותו אלכסון עד הנקודה האחרונה ( עיגול ירוק ) שבה הם חותכים את האלכסון וממנו והלאה המסלולים זהים.

 

[עריסטו]

נכון, ואם רוצים אפשר במקום נקודת החיתוך האחרונה לקחת תמיד את נקודת החיתוך הראשונה שאחרי ראשית הצירים - בדוגמה שלך זו הנקודה (4,4).