../images/Emo62.gif פתרון מלא והוכחה ל-1.
כפי שכבר הוכחנו לא אחת, בשלשה פיתגורית בסיסית אחד המספרים הקטנים מתחלק ב-4, ושני המספרים האחרים אי-זוגיים. חידה: בכמה שלשות פיתגוריות בסיסיות משתתף מספר זוגי כלשהו? פתרון. מקרה ראשון: המספר הזוגי אינו מתחלק ב-4. תשובה: אף לא באחת. להלן נעסוק רק במספר המתחלק ב-4. ובכן, נתון:
x² + y² = z²
כאשר y מתחלק ב-4, והאחרים אי-זוגיים.
y² = (z + x)(z - x)
לפני שנעבור לניתוח
המכפלה, נפרק את y לגורמיו הראשוניים:
y = (p_1 ^ q_1) * (p_2 ^ q_2) * . . . * (p_m ^ q_q_m) y² = (p_1 ^ 2q_1) * (p_2 ^ 2q_2) * . . . * (p_m ^ 2q_q_m)
כאשר p_1=2 ו-q_1 גדול או שווה 2. ברור, שחלק מהגורמים של y² הם גורמים של (z+x), והאחרים הם גורמים של המכפיל השני (z-x). ובנוסף, שני המכפילים הללו זוגיים, ולכן בשניהם ישנו הגורם 2. נקרא למכפילים הללו:
z + x = u z - x = v :ומכאן z = (u + v) / 2 x = (u - v) / 2
ומכיוון ש-u ו-v זוגיים, x ו-z אכן שלמים. גם קל להראות שעבו רu ו-v שונים, מתקבלים גם x ו-z שונים, כלומר שלשות פיתגוריות שונות. וכל השאלה היא, בכמה אופנים אפשר לחלק את כל הגורמים של y בריבוע בין u ו-v. נמשיך. ניקח גורם ראשוני כלשהו p_i^2q_i. האם מותר לפצל את 2q_i הגורמים p_i בין u ו-v? כלומר לתת חלק מהם ל-u וחלק ל-v? התשובה: לא! כי אז הגורם p_i יהיה משותף גם ל-x, גם ל-z, וגם ל-y, כלומר השלשה לא תהיה בסיסית! לכן כל "חבילה" מסוג p_i^2q_i יכולה להיכלל רק בשלמותה ב-u או ב-v. וכל השאלה היא, בכמה אופנים אפשר לחלק ביניהם את החבילות השלמות הללו? וזה כולל גם את החבילה של 2, שהיא נוכחת תמיד (כי y בריבוע מתחלק ב-16, וגם אחרי שנתַנו 2 אחד ל-u ו-2 אחד ל-v, עדיין נותרו לנו 2-ים). סה"כ יש m חבילות (גורמים ראשוניים
שונים). סה"כ יש 2 בחזקת m אופנים לחלוקת החבילות בין שני מכפילים. אבל מכיוון שכל אופן ספרנו פעמיים, פעם אחת עבור (u,v), ופעם שנייה עבור (v,u), ולעומת זאת כל חלוקה מתאימה רק פעם אחת (היות ו-u>v), אזי התשובה הסופית היא: מספר השלשות הפיתגוריות הבסיסיות בהן משתתף מספר נתון y המתחלק ב-4, הוא:
(2 ^ m) / 2 = 2 ^ (m - 1)
כאשר m זה מספר הגורמים הראשוניים
השונים של y (כולל הגורם 2), או: שווה ל-2 בחזקת מספר הגורמים הראשוניים השונים והשונים מ-2. נשאר ספק?
