עוד חידה ...

[gilad_no]

עוד חידה ...

ישנו מסדרון עם 100 נורות מכובות. עוברים על כל הנורות ומדליקים אותם. לאחר מכן, עוברים על כל נורה שנייה, ומכבים אותה. לאחר מכן, עוברים על כל נורה שלישית ומשנים את מצבה (אם היא מכובה, מדליקים אותה, ואם היא דלוקה, מכבים אותה). לאחר מכן, עוברים על כל נורה רביעית ומשנים את מצבה. אחרי זה על כל נורה חמישית, שישית, שביעית ... כך עד שמגיעים ל100. בסוף התהליך, אילו נורות יהיו דלוקות ואילו מכובות? ניתן לפתור את החידה ללא כל קושי בעזרת לולאה פשוטה או ע"י חישוב ידני אך לא זאת הכוונה. אנא נסו לפתור אותה אך ורק בעזרת הראש וללא שום אמצעי עזר. התשובה הינה מתמטית. בהצלחה

 

[אלדד26]

תשובה מהמותן

בוא נראה הראשונה תישאר דלוקה... השניה תישאר כבויה... השלישית תישאר כבויה... הרביעית גם תהיה דלוקה (כי היא כובתה על ידי 2, ונדלקה מחדש על ידי 4). החמישית תהיה כבויה... השישית תהיה כבויה (כובתה על ידי 2, נדלקה על ידי 3, כובתה על ידי 6)..... אוקיי - התשובה המתימטית תתחיל בזה שהנורה ה - N בשרשרת תהיה דלוקה אם מספר כלל המחלקים שלו - לא כולל אותו עצמו - יהיה אי זוגי. עכשיו סדר הגודל יותר טוב... N בריבוע... במקום N בחזקת N. זה כבר יותר טוב. טוב, די, רבאק, השעה 1:30 בלילה ואני פותר חידות! אני אעצור כאן, תמשיכו אתם.

 

[micmuk]

פתרון

נורה 1 - נשארת דלוקה - אחרי שהדלקנו את כולם אי אפשר לשנות אותה נורה 4 - דלוקה - אחרי שנורה 2 שינתה את מצבה היא נדלקת שוב ואינה משתנה על הסוף. נורה 9 - דלוקה - אחרי שנורה 3 שינתה את מצבה היא נדלקת שוב ולא משתנה. נורה 16 - דלוקה נורה 25 - דלוקה נורה 36 - דלוקה נורה 49 - דלוקה נורה 64 - דלוקה נורה 81 - דלוקה נורה 100 - דלוקה בעיקרון כל מספר נורה ראשוני הוא מכובה כי בפעם הראשונה הדלקנו את כולם ואז כשמגיעים אליו הוא מכבה את עצמו. כל שאר הנורות אם הן מצחלקות באיזשהו מספר אז גם כן נשארות כבויות מכיוון שאם יש שני מספרים שונים שמכפלתם הוא המספר אז הם מבטלים אחד את השני (כלומר לא משתנה המצב) אבל המספר עצמו הופך מצב ובגלל שהתחלנו כאשר כולם דלוקות אז מצבו מתהפך לכבוי. אם כן - מתי תישאר נורה דלוקה? כאשר המכפלה היא של מספר בעצמו! במצב הזה זה לא מתבטל - כי כביכול מכפילים במספר אחד. לכן במצב הזה הנורה תישאר דלוקה.